Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

Temario

(A) Espacios métricos

(A.1) Definición y ejemplos de espacios métricos; y

(A.2) Funciones continuas entre espacios métricos, encajes isométricos e isometrias.

(B) Topología de espacios métricos

(B.1) Puntos de acumulación;

(B.2) Convergencia;

(B.3) Conjuntos densos y separabilidad;

(B.4) Conjuntos abiertos y cerrados; y

(B.5) Continuidad.

(C) Espacios métricos completos

(C.1) Sucesiones fundamentales y espacios métricos completos;

(C.2) Principio de bolas encajadas;

(C.3) Teorema de Baire; y

(C.4) Completación de un espacio métrico.

(D) Compacidad de espacios métricos

(D.1) Definición y ejemplos;

(D.2) Teorema de Heine-Borel;

(D.3) Caracterizaciones de la compacidad; y

(D.4) Teorema de Bolzano-Weierstrass

(E) Espacios lineales

(E.1) Definición y ejemplos;

(E.2) Independencia lineal, generados y bases;

(E.3) Subespacios y cocientes;y

(E.4) Funcionales lineales.

(F) Espacios normados

(F.1) Definición y estructura topológica; y

(F.2) Funcionales continuas.

(G) Espacios de funciones

(G.1) Métricas en espacios de funciones;

(G.2) Sucesiones de funciones;

(G.3) Convergencia de sucesiones de funciones;

(G.4) Consecuencias de la convergencia uniforme;

(G.5) Completud de espacios de funciones;

(G.6) Teorema generalizado de Arzela;

(G.7) Otras competiciones.

(H) Stone-Weierstrass

(H.1) Polinomios de Bernstein;

(H.2) Teorema de Korovkin;

(H.3) Teorema de aproximación de Weierstrass; y

(H.4) Teorema de Stone-Weierstrass.

(I) Integral de Riemann-Stiljes

(I.1) Funciones de variación acotada.

(I.2) Integral.

(I.3) Una norma para el espacio de funciones

Evaluación

Se llevarán a cabo tareas-examen.

Bibliografía

Kolmogorov.

Rudin.

Royden.