Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Temario

El temario de este curso es el siguiente y el cual tiene un orden distinto del oficial el cual se encuentra en la dirección electrónica

http://www.matematicas.unam.mx/images/Planes_de_Estudio/Matematicas/Matematicas_(Plan_1983)/Archivos_PDF/Por_Semestre/Semestre_4/0162_Ecuaciones_Diferenciales_I.pdf

1. Introducción a las ecuaciones Diferenciales

   1. Definición de Ecuación Diferencial

      1. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales por orden, tipo y linealidad.

      2. Definición de Solución

         1. Solución implícita, explicita y formal

   2. Métodos de solución de las ecuaciones diferenciales

      1. Método Analítico, método por perturbaciones, método asintótico, método numérico, método cualitativo

   3. Introducción al método cualitativo

      1. Ecuaciones temporales y ecuaciones autónomas.

      2. Campos de direcciones o campo vectorial

      3. Isóclinas, ceroclinas

      4. Punto de equilibrio, línea fase y plano fase

      5. Puntos críticos y ciclos límites y soluciones periódicas.

2. Ecuaciones diferenciales de primer Orden

   1. Definición de ecuación diferencial de Primer Orden

   2. Ecuaciones de Variable Separable o separables

   3. Ecuaciones lineales de primer orden

      1. Ecuaciones Homogéneas lineales

         1. Método de Solución

      2. Ecuaciones No Homogéneas lineales

         1. Factor Integrante

         2. Variación de Parámetros

   4. Ecuaciones Exactas

      1. Método de Solución

      2. Factor integrante en las Ecuaciones Exactas

   5. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden

      1. Trayectorias Ortogonales

      2. Problemas de crecimiento y decrecimiento

      3. Problemas de Mezclas

      4. Circuitos Eléctricos

      5. Mecánica

   6. Teorema de Existencia y Unicidad para las Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

      1. Iteraciones de Picard

      2. Justificación del Teorema de Existencia y Unicidad

      3. Mas resultados del Teorema de Existencia y Unicidad

3. Ecuaciones diferenciales de Segundo Orden y de orden superior

   1. Definición de Ecuaciones de Segundo Orden.

   2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden

   3. Valores iniciales, wronskiano e independencia lineal

   4. Ecuaciones diferenciales de orden n

   5. Reducción orden

   6. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes

   7. Método de coeficientes indeterminados

   8. Variación de parámetros

   9. Interpretación del plano fase.

   10. Ecuaciones diferenciales no lineales

   11. Vibraciones mecánicas

       1. Formulación y respuesta libre

          1. Movimiento armónico simple sin fricción

          2. Respuesta libre con fricción

             1. Subamortiguado

             2. Sobreamortiguado

             3. Amortiguamiento critico

       2. Formulación y respuesta forzada

          1. Fricción ausente

          2. Frecuencia distinta a la natural

          3. Resonancia y resonancia cercana

       3. Oscilaciones forzadas amortiguadas

       4. Forzamiento no periódico

   12. Circuitos eléctricos.

4. Series de Potencias.

   1. Repaso de Series de Potencias

   2. Solución en un punto ordinario

      1. Método de series de Taylor

      2. Método de Coeficientes indeterminado.

   3. Soluciones en un punto singular regular

      1. Método de Frobenius

   4. Funciones de Bessel

   5. Ecuación de Legendre

5. Transformada de Laplace

   1. Definición y propiedades básicas

   2. Transformadas de Laplace Inversas

      1. Raíces, factores cuadráticos y Fracciones Parciales

   3. Transformadas de Derivadas

   4. Propiedades operacionales

      1. Traslaciones en el eje s

      2. Traslaciones en el eje t

      3. Derivadas de una transformada

      4. Transformada de integrales

      5. Transformada de una función periódica

   5. Problema de valor inicial para ecuaciones diferenciales

   6. Integrales y el teorema de Convolución

   7. Impulsos y distribuciones

   8. La función delta de Dirac

   9. Aplicaciones para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

6. Sistemas de ecuaciones diferenciales de Primer Orden.

   1. Repaso de matrices y vectores

   2. Sistemas lineales homogéneos

      1. Valores propios reales y distintos

      2. Valores propios repetidos

      3. Valores propios complejos

   3. Sistema lineales no homogéneos

      1. Coeficientes indeterminados

      2. Variación de parámetros

   4. Matriz exponencial

   5. Solución por transformaciones de Laplace

   6. Aplicaciones

      1. Problemas de Mezclas

      2. Sistemas mecánicos

      3. Circuitos con multimallas

   7. Como se relacionan los sistemas de primer orden y las ecuaciones de segundo orden.

   8. Interpretación del Plano Fase

   9. Sistemas autónomos y estabilidad

   10. Ecuaciones del depredador presa

   11. Soluciones periódicas y ciclo límite

   12. Caos y atractores extraños: Ecuaciones de Lorentz

Forma de Calificar

Se va a discutir en la primera clase o pueden comentar al correo electronico pejuley@hotmail.com

Se quedo que va a ser 100% examen.

Se hará de 3 a 5 exámenes durante el semestre.

En cada examen se va a dejar una tarea de máximo de 15 ejercicios de donde saldran las preguntas del examen.

Si se reprueba un examen se tiene que reponer en las fechas de los examenes finales. Se puede reponer cualquier examen en una o en las dos fechas de examen final.

En cada vuelta de los examenes finales se puede presentar el examen final para aprobar.

Bibliografía

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