Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Grupo 4160, 70 lugares. 53 alumnos.

 

La presentación del curso se divide en tres apartados. En el primer apartado y en el segundo se desarrollan, respectivamente, el temario y la dinámica de la clase. El tercer apartado consiste en una serie consideraciones importantes a tener en cuenta. Nuestra primera sesión será el lunes 30 de enero, a la hora y en el salón indicados en los horarios.

En esta parte se abordan campos vectoriales en la recta, en el plano y en el espacio tridimensional. Se asocia una ecuación diferencial a un campo vectorial y se plantea el problema de encontrar soluciones a una ecuación diferencial. Se introduce la noción del espacio de las fases y del espacio de las fases extendido. Se plantean ejemplos para generar representaciones visuales y se muestra como definir campos vectoriales que cumplen ciertas propiedades dadas.

En esta parte se trata tanto el caso homogéneo como el no homogéneo. En el caso homogéneo se resuelve primero el caso de dimensión uno, para pasar posteriormente a varias variables. Se introducen los conceptos de valores y vectores propios de una matriz con coeficientes constantes, así como los procesos de diagonalización y normalización de matrices. En los casos de dimensiones pequeñas se producen representaciones visuales para analizar los diversos comportamientos de los campos vectoriales lineales. En esta parte se demuestra que las soluciones de una ecuación lineal homogénea forman un espacio vectorial de dimensión finita, con lo que se introduce el concepto de matriz fundamental de soluciones así como de Wronskiano. Se aborda el teorema de Liouville y su significado geométrico para ecuaciones diferenciales definidas por matrices con coeficientes constantes. Para abordar el caso no homogéneo se emplea el método de variación de parámetros (en una y varias variables) que, aunado a lo desarrollado en el caso homogéneo, permite concluir que las soluciones forman un espacio afín. Se hace notar que si el término no homogéneo es continuo entonces la ecuación tiene solución explícita.

Esta parte se comienza con la reducción de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes a una ecuación de primer orden en R^2 definida por una matriz con coeficientes constantes. Lo anterior permite llevar el estudio de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes (en los casos homogéneo y no homogéneo) a los resultados abordados en la parte previa del curso. Se procede de manera análoga en el estudio de ecuaciones diferenciales de orden n arbitrario con coeficientes constantes, reduciendo estas ecuaciones a ecuaciones de primer orden en R^n definidas por matrices con coeficientes constantes. Se abordan ejemplos de vibraciones mecánicas: movimientos con y sin amortiguamiento, y con fuerza externa (ejemplo de resonancia). Esos ejemplos se resuelven tanto con lo visto previamente en el curso como con los métodos usuales.

Se establece la equivalencia entre ecuaciones hamiltonianas y ecuaciones diferenciales exactas. Con esta perspectiva, se aborda la noción de factor integrante en un sentido geométrico. Esta perspectiva también permite dar ejemplos usando las nociones geométricas aprendidas en los cursos de Cálculo Diferencial.

En esta parte se demuestra el teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias. Este tema incluye las iteradas de Picard y su convergencia, así como el dominio de definición de las soluciones obtenidas.

En esta parte se estudian ecuaciones que nuevamente están en términos de una matriz, pero ahora con coeficientes variables. Ya que se pierde la continuidad del campo vectorial que define la ecuación diferencial, se resuelven casos cuyas soluciones se expresan en series de potencias convergentes, o bien, que se logran abordar usando el método de Frobenius. En esta parte se ven las ecuaciones clásicas: Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff y ecuación hipergeométrica. Este tema se abordará en función del tiempo que se tenga antes de acabar el semestre.

Algunos libros que pueden servir de apoyo para el curso son:

Dinámica del curso

Clases

Evaluación

Consideraciones importantes

• Se pedirá que tanto las tareas como los exámenes tengan una redacción clara, en especial las tareas, ya que contarán con más tiempo para escribirlas. También se requerirá que todos estén escritos a mano, con letra grande y legible.
• Si se encuentran trabajos (tareas o exámenes) que hayan sido copiados, ya sea parcial o totalmente, esos trabajos se anularán, o bien, se harán exámenes orales a todas las personas que los hayan presentado.