Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Ecuaciones diferenciales ordinarias I

Ayudantes: Guadalupe Martínez Salgado, Edgar Brian Loyda Barbosa, Emilio Ramírez Franco.

El enfoque que se da a las ecuaciones diferenciales en este curso es un enfoque geométrico. Esta visión sigue, en buena parte, la perspectiva dada por Poincaré a las ecuaciones diferenciales ordinarias y retomada fuertemente por la escuela rusa, en particular, por V.I Arnold.

Los puntos a tratar en el curso son básicamente los siguientes:

1. Noción de campo vectorial en el plano y en el espacio.
2. Retrato de fase y retrato de fase extendido.
3. Ecuación diferencial asociada a un campo de vectores y puntos singulares y regulares.
4. Solución de ecuaciones lineales en una variable.
5. Aplicaciones de la solución de una ecuación diferencial lineal.
6. Ecuaciones diferenciales lineales en varias variables.
7. Nociones básicas de álgebra lineal.
8. Solución de ecuaciones diferenciales lineales en varias variables en el caso de raíces reales del polinomio característico asociado a la matriz que define a la ecuación.
9. Complejificación del espacio vectorial y de la ecuación diferencial lineal en el caso de raíces complejas del polinomio característico.
10. Espacio vectorial de soluciones de una ecuación.
11. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Matriz fundamental de soluciones. Variación de parámetros.
12. Ecuaciones de segundo orden homogéneas, vistas como ecuaciones lineales de primer orden.
13. Ecuaciones de segundo orden no homogéneas. Fenómeno de resonancia y aplicaciones a distintos fenómenos físicos.
14. Ecuaciones hamiltonianas y ecuaciones exactas.
15. Aplicaciones a biología y física. Modelo depredador-presa.
16. Teorema de existencia y unicidad.
17. Soluciones en serie. Ejemplos de ecuaciones clásicas que uno debe conocer.

No seguiremos un libro en específico por lo que se pide a los alumnos tener una asistencia constante, es sustancial. La evaluación estará fundamentada, esencialmente, en el desempeño empleado en la resolución de las tareas propuestas y en exámenes presenciales. Los detalles se darán el primer día de clase.

Los siguientes libros podrían servir de apoyo, si bien no seguimos ninguno de ellos en específico.

-Arnold V.I., Ordinary Differential Equations, Springer Verlag, 1992, traducción del original en ruso, editorial Nauka, 1984.
-Hirsh M., Smale S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. ‎Academic Press, 1974.
-Jaurez J., Ortiz L., Palma J., Rosales E.Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales, Papirhos, Instituto de Matemáticas UNAM, por aparecer.

Se hace notar que el uso de cubrebocas bien colocado al ingresar al instituto y durante la clase es indispensable. Del mismo modo, es indispensable la desinfección con gel al ingresar a las instalaciones del instituto. Les agradecemos de antemano el observar estas medidas sanitarias mínimas como parte del respeto a la comunidad universitaria.