Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

Presentación del curso de Cálculo Diferencial e Integral IV

La intención principal de este curso es estudiar y comprender el concepto de Integral para funciones de varias variables, y sus aplicaciones.

Dinámica del curso:

La dinámica del curso será la usual y la comentaremos también el primer día de clases, también ahí podrán plantear sus dudas con respecto al mismo.

Abriremos 2 sesiones de asesoría extras (para quienes quieran asistir a ellas) fuera del horario de clases antes de cada examen parcial para que puedan plantear ahí sus dudas sobre lo visto en clase, o ejercicios de las tareas. Desde luego, también podrán hacerlo en las ayudantías.

También abriremos un grupo en Classroom en donde subiremos las tareas del curso (y otros materiales), a la vez que nos servirá como un canal de comunicación.

El enlace es:

Elementos para la evaluación del curso:

1. Se aplicarán de 5 a 6 exámenes parciales durante el curso:
   1. Dos exámenes serán Tarea-Examen. Para cada una de ellas tendrán el tiempo suficiente para entregarlas.
   2. El resto de los exámenes serán en el salón y a la hora de clase, y tendrán un tiempo razonable para contestarlo y entregarlo.

2. Los exámenes representarán el 100 % de la calificación final del curso.

3. Habrá reposiciones de todos los exámenes que se apliquen durante el curso (incluyendo las Tareas-exámenes). Las reposiciones serán al final del semestre (en principio, durante las semanas de exámenes finales), y en dos días o tres, dependiendo de los tiempos. Podrán presentar todas las reposiciones, si así lo desean.

4. El promedio de las calificaciones de los exámenes se hará tomando en cuenta la máxima calificación entre el examen parcial y la correspondiente reposición.

5. Se dejarán Tareas, una por cada examen. Las tareas tendrán carácter de opcional, es decir, no será obligatorio entregarlas.

Podrán entregar las tareas en equipos o de manera individual.

Se contarán como una bonificación a su calificación final para quienes las entreguen. La bonificación será proporcional a su promedio de calificación de ellas y para calcular el promedio se tomarán en cuenta todas las tareas que se dejen durante el curso. La bonificación máxima será de 1.5 puntos a su promedio final de exámenes parciales.

Para tener derecho a la bonificación de las tareas deberán cumplir los siguientes requisitos:

a) entregar todas las tareas que se dejen durante el curso

b) tener promedio aprobatorio de ellas y, al menos, 5 de calificación en cada una de las mismas.

c) tener en cada uno de los exámenes parciales que se apliquen una calificación mínima de 4.

Cada tarea se entregará a los estudiantes en dos partes antes de cada parcial.

6. En caso de que sea necesario, consideraremos alguna evaluación adicional para que puedan mejorar su calificación (preguntas extras, por ejemplo), sin descuidar el nivel académico. Lo comentaremos en el primer día de clases.

7. El examen final consistirá en presentar todas las reposiciones.

Escala de calificación final del curso

Rango Calificación

5.6 – 6.5 6

6.6 – 7.5 7

7.6 – 8.5 8

8.6 – 9.5 9

9.6 – 10 10

A continuación, mostramos el temario que abordaremos en este curso:

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV

El temario que presentaremos a continuación estará sujeto a algunas modificaciones. El primer día de clases daremos el temario definitivo del curso.

TEMARIO.

CAPITULO 0. Diferenciación de funciones de Rn a R.

1. Diferenciación de una función.
2. Máximos y mínimos de una función.
3. Máximos y mínimos con restricciones, Multiplicadores de Lagrange.

CAPÍTULO I. Integrales múltiples

1. Área de un conjunto plano.
2. Integral de una función de dos variables, como volumen debajo de una superficie y sumas de Riemann.
3. Propiedades de las integrales.
4. Conjuntos de medida cero.
5. Cálculo de integrales múltiples, teoremas de Fubini, integración sobre dominios más generales.
6. Integrales triples y cálculo de volúmenes.
7. Teorema del cambio de variables e integrales en polares, cilíndricas, esféricas.
8. Teorema del valor medio.
9. Centro de masa y momentos de inercia (opcional).
10. Integrales impropias.
11. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados.
12. Integrales sobre regiones no acotadas.

CAPÍTULO II. Integral de línea

1. Integración de funciones escalares sobre curvas paramétricas, independencia de la parametrización de la curva, integrales de trayectoria.
2. Integrales de línea en campos vectoriales, cálculo del trabajo debido a un campo de fuerzas.
3. Integrales de línea en campos del tipo gradiente y campos conservativos.
4. Teorema de Green, aplicaciones y ejemplos.

CAPÍTULO III. Integral de superficie

1. Superficies parametrizadas, vector normal y plano tangente.
2. Integración sobre superficies parametrizadas y cálculo de áreas.
3. Independencia de la parametrización.
4. Integración de funciones escalares y vectoriales sobre superficies orientables.

CAPÍTULO IV. Teoremas principales sobre integrales

1. Teorema de la divergencia en el plano, interpretación geométrica.
2. Ejemplos de integrales de línea, índice de un campo sobre una curva.
3. Teorema de Green.
4. Teorema de Stokes, rotacional, vorticidad.
5. Teorema de Gauss y Stokes en el espacio.
6. Flujos a través de una superficie (presión).
7. Identidades de Green.
8. Teorema de Stokes y aplicaciones.
9. Principio del máximo para la ecuación del calor.

Bibliografía.

1. Marsden, J. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson.
2. Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 2. Ed Reverté.
3. Haaser, Norman B. Análisis Matemático, Vol. 2. Ed Trillas.
4. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis, Vol. 2. Ed. Limusa.
5. Bartle, Robert G. Introducción al análisis matemático. Ed. Limusa.
6. Sagan, Hans. Advanced Calculus.

Bibliografía complementaria.

1. Fulks, W. Cálculo Avanzado. México: Limusa-Wiley, 1970.
2. Spivak, M. Cálculo en Variedades. México: Ed. Reverté, 1987
3. H. M. Schey. Div, Grad, Curl, and all that. W. W. Norton and Company