Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Cuarto Semestre, Álgebra Lineal II

Descripción del curso: El objetivo principal del curso será entender el álgebra y geometría de las funciones lineales, así como las aplicaciones de éstas en otras ramas de las matemáticas. A grandes rasgos, el curso se dividirá en dos partes. En la primera parte (que comprende los Temas 1--3 descritos abajo) estudiaremos métodos algebraicos en el estudio de funciones lineales (como diagonalización y formas canónicas) mientras que en la segunda parte (Temas 4 y 5) estudiaremos la geometría de las funciones lineales y álgebra multilineal.

Calificación: Habrá cuatro exámenes parciales y tareas semanales. Cada examen parcial cuenta por el 20% de la calificación, y el conjunto de las tareas cuenta por otro 20%. Se podrán reponer hasta dos parciales, de otra manera se presentará examen final que cuenta por 80% de la calificación (las tareas no se podrán reponer).

Página web: Pueden encontrar toda la información aquí contenida y más en esta página web, donde iré subiendo las tareas y notas de clase. La presentación y el temario en pdf se encuentran aquí. También tendremos un grupo de Google classroom, código 2yj7bwr.

Temario:

1. Dualidad.

1.1. Espacio dual y bases duales.

1.2. Transformaciones duales.

1.3. Espacios ortogonales.

2. Diagonalización

2.1. El polinomio característico, vectores y valores propios.

2.2. Subespacios invariantes y teorema de Cayley-Hamilton.

2.3. Diagonalización.

2.4. Triangularización de matrices sobre los números complejos.

3. Formas canónicas y descomposiciones

3.1. Descomposición LU.

3.2. El polinomio mínimo.

3.3. Forma canónica de Jordan.

4. Productos interiores y formas cuadráticas

4.1. Productos interiores y normas sobre los reales y sobre los complejos.

4.2. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

4.3. El adjunto de un operador lineal y operadores autoadjuntos.

4.4. Operadores ortogonales y unitarios.

4.5. Teoremas espectrales.

4.6. Formas bilineales y producto tensorial de espacios vectoriales.

4.7. Formas cuadráticas

5. Valores singulares

5.1. Descomposición en valores singulares

5.2. Aplicaciones

6*. Forma canónica racional

*si el tiempo lo permite