Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

Grupo 4067, 58 lugares. 57 alumnos.
Profesor Jessica Angélica Jaurez Rosas lu a sá 11 a 12 O214
Ayudante Mario Andrés Tinoco Garza lu mi vi 12 a 13 O214
Ayudante Jorge Arturo Quiroz Cabrera

 

La presentación del curso se divide en tres apartados. En el primer apartado y en el segundo se desarrollan, respectivamente, el temario y la dinámica de la clase. El tercer apartado consiste en una serie consideraciones importantes a tener en cuenta. Nuestra primera sesión será el lunes 30 de enero, a la hora y en el salón indicados en los horarios.

Temario y material bibliográfico

Cabe mencionar que en el temario hemos incluído el tema de derivabilidad, debido a que el semestre pasado no lo abordamos a causa de los paros.

Derivabilidad

En esta parte daremos la definición formal de derivabilidad, estableciendo su relación con las rectas tangentes a las gráficas de las funciones. Demostraremos propiedades básicas junto con varios ejemplos. Se establecerá la relación entre continuidad y derivabilidad, y demostraremos resultados de derivabilidad en sumas, multiplicaciones y cocientes de funciones. Además, abordaremos la derivabilidad de la composición de funciones expresada en la Regla de la cadena. Con las nociones y propiedades desarrolladas haremos gráficas de funciones, estableciendo criterios para conocer su crecimiento, sus puntos máximos o mínimos, su concavidad o su convexidad.

Integrabilidad

La noción de integrabilidad surgirá a partir de la búsqueda de conocer las áreas de ciertas regiones del plano real. Para ello, comenzaremos definiendo la integral de funciones escalonadas, noción que nos servirá para definir la integral de funciones más generales. Como veremos, no cualquier función tiene la propiedad de ser integrable. Saber cuáles funciones lo son y el cálculo de sus integrales serán temas que abordaremos el resto del curso. En esta parte veremos que las funciones continuas en intervalos cerrados tienen la propiedad de ser integrables, y calcularemos las integrales de algunas funciones dentro de esta familia. Con ello, daremos las primeras aplicaciones de integrabilidad, enfocándonos en el cálculo de áreas de ciertas regiones del plano.

Relación entre derivabilidad e integrabilidad

En esta parte enfocaremos a la integral como una función del límite superior. Con ello, relacionaremos la noción de derivada con la noción de integral en importantes resultados conocidos como "Teoremas fundamentales del Cálculo". Veremos algunas consecuencias de estos teoremas, entre ellas los métodos de integración conocidos como "cambio de variable" e "integración por partes" que nos permitirán calcular las integrales de algunas funciones.

Funciones trigonométricas

En esta parte definiremos las funciones trigonométricas, obteniendo sus derivadas y sus integrales. También abordaremos sus funciones inversas, sus derivadas y sus integrales, y también veremos integrales donde éstas aparecen. Veremos aquí las coordenadas polares en el plano y como, a partir de ellas y de la noción de integral, podemos calcular áreas de nuevas regiones en el plano.

Funciones logarítmicas y exponenciales

En esta parte veremos las definiciones de funciones logarítmicas y exponenciales, y analizaremos sus principales propiedades. Obtendremos sus derivadas e integrales, y algunas fórmulas de integración donde aparecen este tipo de funciones. En particular, veremos como ciertas funciones racionales, al reducirse a fracciones simples, se pueden integrar usando la función logaritmo.

Sucesiones y series

En esta parte se introducen las definiciones de sucesiones y series, estableciendo las importantes nociones de convergencia de las mismas. Ante la pregunta de cuándo convergen, se introducirán criterios que en algunos casos permiten determinarlo. Cabe mencionar que este último apartado se abordará en función del tiempo que nos quede en el curso.

Material bibliográfico

Los libros que pueden servir de apoyo en el curso son:
  • M. Spivak, Cálculo Infinitesimal, Reverté, México.
  • R. Courant, F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis. Editorial Limusa, México.
  • T. M. Apostol, Calculus, Volumen I. Reverté, México.

Dinámica del curso

Clases

Este semestre, para concluir el temario que hemos presentado, será necesario tener clases de lunes a sábado de 11 am a 1 pm. Es importante mencionar que para comprender cada uno de los temas del curso se deberá asistir a las seis sesiones, ya que el desarrollo de ejemplos abonará no sólo en la comprensión de la teoría sino también en el desarrollo de la misma.
En todas las clases se atenderán las dudas de los temas que se estén viendo o que se hayan visto. También se podrán resolver dudas específicas sobre los ejercicios de las tareas, una vez que el estudiante los haya intentado por su cuenta y tenga propuestas de resolución.

Evaluación

Ya que en nuestro curso la comprensión de la teoría y el desarrollo de ejemplos estarán ligados de manera intrínseca, eso se reflejará en la forma de evaluar, considerando tanto exámenes parciales como tareas.
Para la calificación final las tareas contarán 50% y los exámenes 50%, siendo necesario que se cumplan las siguientes condiciones:
  • El promedio de las tareas deberá ser aprobatorio (i.e., mayor o igual a seis).
  • El promedio de los exámenes deberá ser aprobatorio (i.e., mayor o igual a seis).
Es importante mencionar que se podrán reponer a lo más la mitad de los exámenes parciales.
Para realizar un examen final con el que se apruebe el curso, será necesario que hayan entregado al menos la mitad de las tareas que se dejen a lo largo del semestre.

Consideraciones importantes

  • Se pedirá que los escritos que serán evaluados tengan una redacción clara, en especial las tareas, ya que contarán con más tiempo para escribirlas. También se requerirá que todos estén escritos a mano, con letra grande y legible.
  • Para que las tareas sean evaluadas será necesario que se entreguen en los plazos establecidos.
  • Los exámenes se aplicarán los sábados.
  • Si se encuentran trabajos (tareas o exámenes) que hayan sido copiados, ya sea parcial o totalmente, esos trabajos se anularán, o bien, se harán exámenes orales a todas las personas que los hayan presentado.

 


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