Matemáticas (plan 1983) 2023-2

Segundo Semestre, Álgebra Superior II

Motivación

Las estructuras algebraicas son ejemplo de uno de los recursos más poderosos de las matemáticas: la universalidad. La resolución de problemas particulares nos lleva a reconocer aspectos comunes en nuestras soluciones y se identifican propiedades de la estructura que les subyace. Esta identificación de conceptos universales, transversales a distintas situaciones y aplicables a variedad de objetos lleva entonces a plantear definiciones de objetos matemáticos. Los problemas particulares se convierten ası́ en instancias de estos objetos, y son válidos en ellos todos los teoremas que podamos demostrar para el concepto que los engloba.

De esa forma se llega a conceptos como el de anillo, que rescata propiedades comunes a distintos conjuntos en los que están definidas dos operaciones (por ejemplo, los números enteros), y esto tiene como consecuencia que todo lo que se demuestre para un anillo vale entonces para cada una de sus instancias (los enteros, los polinomios, etc). A partir de la noción de grupo se definen otras (dominio entero, campo) y se demuestran algunas de sus propiedades.

Este curso constituye, ası́, un paso importante en materia de abstracción y en él se trabaja a profundidad con estructuras matemáticas de uso común en distintas áreas, como se muestra en el temario:

Temario

Este curso cubre los temas que contempla el temario oficial de esta Facultad, que a grandes rasgos son:

1. Números enteros
2. Divisibilidad
3. Números complejos
4. Polinomios y ecuaciones polinomiales

Antecedentes

Se espera que estén familiarizad@s con la notación y resultados de Álgebra Superior I, entre ellos:

• Nociones generales de teorı́a de conjuntos: conjunto, ∩, ∪, ∈, ⊆, etc.
• Nociones de par ordenado y producto cartesiano de conjuntos.
• Relaciones binarias y propiedades de relaciones (reflexividad, simetrı́a, transitividad; antirreflexividad, antisimetrı́a).
• Relación de equivalencia. Partición. Clase de equivalencia.
• Función, dominio, contradominio, imagen, preimagen. ¿Cuándo decimos que una función está bien definida?
• Propiedades de los números naturales.
• Demostraciones por inducción.
• Cardinalidad y conteo.
• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Si bien se trata de un curso presencial, tendremos un grupo en Classroom donde pondré a su alcance material de apoyo: videos y notas de repaso o de temas complementarios, ası́ como listas de ejercicios de los parciales del curso.

Logı́stica y calificaciones

Usualmente, Natalia presenta la parte teórica del curso los lunes, miércoles y viernes en el horario establecido, mientras que Ehécatl conduce la parte práctica martes y jueves en el mismo horario. A cualquiera de nosotras nos pueden consultar dudas también fuera del salón de clases; Natalia suele estar en el cub. 224 del Departamento de Matemáticas aproximadamente entre las 10 y las 19hs. (salvo por clases, comida y juntas). Para tener certeza de que podemos asesorarles cuando aparecen, es recomendable acordar un horario con nosotras, aunque pueden pasar por el cubı́culo de Natalia y ver si está libre.

Los libros que utilizaremos en el curso de manera central son: [1] y [4]. Los demás que se enlistan en la bibliografı́a son buenos complementos, y de hecho cualquier libro es bueno si les gusta y aborda alguno o todos estos temas.

Usualmente hacemos 4 evaluaciones parciales, que constan de una tarea (30 % de la calificación), y un examen (70 %). Las tareas se extraen de una lista más larga de ejercicios, que sirve como guı́a de estudio. Pueden resolverse en equipo, pero se entregan individualmente. Los exámenes se resuelven y entregan en forma individual. Algunos ejercicios de esta lista pueden usarse también para obtener hasta un punto extra en el parcial, si se presenta su solución en forma clara frente al grupo. Cada uno de esos ejercicios sólo se puede usar una vez para exposición y la resolución y presentación son individuales. Para alcanzar el punto extra completo por esta ruta, la exposición debe ser excelente: muy clara, correcta, bien motivada y concisa. Normalmente destinaremos alrededor de 10 minutos de alguna ayudantı́a a cada una de estas exposiciones. Si muchas personas quieren presentar el mismo ejercicio y no han expuesto nada antes, se elegirá por sorteo a la o el expositor (y no pueden participar en el sorteo quienes ya expusieron).

La fecha para el último examen parcial es la que fija la Facultad para la primera vuelta de exámenes finales. Media semana después se aplica un examen general del curso (examen ”de convalidación de conocimientos”). Es necesario sacar al menos 6 en este examen para tener derecho a reponer parciales. Si no lo aprueban, necesitan presentar (y pasar) el examen final para aprobar la materia. Si lo aprueban, cada punto completo que obtengan por encima del 6 les aporta una décima adicional a su promedio del curso.

En la fecha de la segunda vuelta se pueden presentar el examen final, o la reposición de hasta dos parciales si (y sólo si) aprobaron el examen de convalidación. Las reposiciones sustituyen la calificación de su examen correspondiente, pero si les conviene, también sustituyen la de la tarea de ese parcial. El objetivo de estas
reposiciones es dar oportunidad de solventar bien el curso a quienes por cualquier motivo no presentaron, o no pasaron algún parcial. Esto incluye problemas de salud o personales, fallas del transporte, etc. El examen final sustituye todo lo que han hecho (o dejado de hacer) en el semestre una vez que lo entregan.

Los promedios finales inferiores a 6 son reprobatorios y sólo si no entregaron ningún trabajo en el semestre pongo NP; si calificamos algo de ustedes, pero no pasaron, la calificación es 5. Se redondean para arriba los promedios superiores a medio punto por encima de una calificación aprobatoria, por ejemplo:
6.51 (→7), 9.7 (→10), pero no 7.5 (→7).

Bibliografía

[1] Diana Avella, Gabriela Campero, and Corina Sáenz. Curso introductorio de álgebra II. Papirhos, 2020.
[2] Wilbur Eugene Deskins. Abstract algebra. Courier Corporation, 1995.
[3] CW Dodge. Sets, Logic and Numbers. Prindle Weber and Schmidt, 1969.
[4] Carmen Gómez Laveaga. Algebra superior: Curso completo. Universidad Nacional Autónoma de
México, 2014.
[5] Joseph J Rotman. A First Course in Abstract Algebra. Prentice-Hall, 1996.