Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Teoría de singularidades. Singularidades de funciones diferenciables.

En el curso estudiaremos las singularidades genéricas de las funciones diferenciables que están definidas entre espacios Euclidianos. El estudio de las singularidades de funciones diferenciables entre variedades comenzó con los trabajos de Whitney (1936) y Morse (1925). Posteriormente, mediante el teorema de transversalidad de Thom (1956), J. Mather hace varias aportaciones, entre 1968 y 1970, a la teoría de estabilidad de funciones diferenciables. El temario del curso comprende tanto el estudio global de funciones diferenciables, es decir, la equivalencia de éstas salvo difeomorfismos; como el estudio local de las singularidades que éstas presentan.

Dinámica del curso. Lu, Mi y viernes serán para estudiar la teoría del curso; y martes y jueves, para hacer ejercicios que ayuden a reafirmar la teoría.

Evaluación. Cada dos semanas se dejará una tarea. La calificación final será el promedio de las tareas. No habrá reposiciones. Podrán presentar (una única vez) el examen final quienes hayan entregado más del 80% de las tareas. La calificación obtenida en el examen final será la calificación definitiva del curso.

Programa.

I. Singularidades de funciones real valuadas definidas en R.

• Equivalencia de funciones
• Funciones de orden finito e infinito
• Funciones de Morse

II. Singularidades de funciones de R^2 en R.

• Equivalencia de funciones
• Clasificación de funciones de clase C^∞
• Funciones de Morse

III. Singularidades de funciones de R en R^2.

• Equivalencia y clasificación de funciones
• Funciones pares e impares

IV. Singularidades de funciones de R^2 en R^4.

• Equivalencia y clasificación de funciones

V. Singularidades de funciones de R^2 en R^3.

• Equivalencia y clasificación de funciones

VI. Singularidades de funciones de R^2 en R^2.

• Equivalencia y clasificación de funciones
• El doblez y la cúspide

Bibliografía:

• R. Bulajich & S. López de Medrano, Aportaciones Matemáticas, serie: Comunicaciones. No. 15, 355-564.

Bibliografía complementaria:

• M. Golubitsky & V. Guillemin, Stable mappings and their singularities.
• C.T.C. Wall, Differential topology.
• R. Narasimhan, Analysis on real and complex manifolds.