Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2023-1

Optativas, Análisis Funcional Aplicado

Página del curso: https://sites.google.com/ciencias.unam.mx/anafunap2023-1gpo6022

Objetivos: El propósito central de este curso es introducir al estudiante a los métodos del Análisis

Funcional aplicados a la solución numérica de las EDPs, por métodos de elementos finitos. Curso

que bien se podría llamar Análisis Funcional Aplicado a la resolución numérica de Ecuaciones

Diferenciales Parciales (EDPs) vía su formulación variacional y Métodos de Elementos Finitos (MEF).

Esbozo del curso. Las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) tienen lugar en una gran variedad

de disciplinas: física, geofísica y tecnología (exploración y producción de petroleo), biomatemáticas,

ecología, biomecánica y medicina (mamografía por impedancia eléctrica, valoración de daño

hepático, flujo sanguíneo y develación de estenosis en coronarias), y finanzas, entre otras.

Como ya se mencionó antes, este curso es una introducción a la formulación variacional en

Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs), el método de elemento finito y el software de dominio

público FreeFEM. Es un curso teórico práctico básico.

El programa de este curso contempla la revisión de las nociones básicas y teoremas fundamentales

en espacios de Banach, de Hilbert y descomposición espectral de operadores compactos en espacios

de Hilbert. El material sobre la formulación variacional en EDPs y método de elemento finito se

tomara del libro de G. Allaire, Numerical Analysis and Optimization. An introduction to mathematical

modelling and numerical simulation y FreeFEM como ya se mencionó es de dominio público.

Se puede consultar su contenido para comprobar el contenido del material, que incluye espacios

de Sobolev, teoremas de inmersión y de traza que usualmente no se ven en los cursos usuales

de Análisis Funcional.

Asignatura antecedente: Análisis matemático aplicado.

Requerimientos: No indispensable, pero si recomendable: experiencia con algun lenguaje

de programación (Matlab, SciLab, Python y/o C).

Dinámica del curso:

1) Modalidad. Presencial modulo la ocurrencia de una contingencia epidemiológica

de la pandemia del Covid-19.

2) Tareas. El trabajo fuera del aula es fundamental, pues permite enaltecer habilidades para resolver

ejercicios y problemas de la materia. Las tareas constituyen una actividad que permite al docente

monitorear el aprendizaje por parte de los alumnos, como tener elementos de evaluación final de los

alumnos. Estas serán semanales y se podrán entregaran por equipo.

3) Prácticas. Elaboración de prácticas sobre experimentos numéricos con ayuda de una

computadora digital.

4) Proyecto. Elaboración de un proyecto de curso.

Evaluación: La calificación final se compone por un 35% del promedio general de las tareas y en

un 35% del promedio general de los exámenes parciales, digamos 3. Se pueden reponer exámenes

parciales en las dos vueltas de exámenes finales. El restante 30% se obtiene mediante el desarrollo

de un proyecto de curso que cada equipo defenderá ante el grupo.

PROGRAMA

PARTE A. Antecedentes.

1) Espacios Métricos.

Conceptos y teoremas fundamentales.

2) Integral y espacios de Lebesgue.

Nociones y teoremas centrales sobre la medida e integral y espacios de Lebesgue.

3) Espacios de Banach.

Conceptos fundamentales y sus teoremas relevantes.

4) Espacios de Hilbert.

Nociones esenciales y sus teoremas fuertes.

5) Panorámica de los métodos en diferencias vía ejemplos.

Métodos en diferencias y la ecuación del calor. Consistencia y error de truncamiento, método estable y convergencia.

Ecuaciones de advección y de onda.

PARTE B. Análisis Funcional y MEF para EDPs

6) Introducción a las EDPs mediante ejemplos clásicos.

Ecuaciones de calor, de onda, de Laplace, de Schöringer, Lamé, Stokes y del plato.

Simulaciones numéricas.

7) Formulación variacional para problemas elípticos.

Solución clásica y débil variacional. Teorema de Lax-Milgram y su aplicación a problemas

elípticos en formulación variacional.

8) Espacios de Sobolev.

Espacio de funciones de ensayo y derivada débil. Espacios H¹(Ω) y H_o¹(Ω). Fórmula de Green y teorema de Trazas.

Resultados de compacidad y densidad. Espacios H^m(Ω), H(div) y W^m,p(Ω).

9) Matemática de los problemas elípticos.

Ecuación de Laplace con condiciones de frontera Dirichlet y Neumann.

Propiedades cualitativas. Ecuaciones de Stokes y elasticidad.

10) Método de elemento finito.

Aproximación a la formulación variacional, método de Galerkin, principios generales

del MEF. Elementos finitos en 1D. Elementos finitos P₁ , P₂ y de Hermite, estimación

de error y convergencia.

Elementos finitos en nD, con n mayor o igual a 2, elementos triangulares y rectangulares,

estimación de error y convergencia, propiedades cualitativas. MEF para problemas de Stokes.

11) Problemas del autovalor.

Solución de problemas no-estacionarios como motivación. Descomposición espectral de operadores compactos.

Autovalores de un problema elíptico, su formulación variacional, autovalores del laplaciano.

MEF para el problema del autovalor, estimación del error y convergencia.

12) Problemas no-estacionarios.

Problemas parabólicos e hiperbólicos, buen planteamiento en su formulación

variacional. Propiedades cualitativas. MEF para problemas parabólicos e hiperbólicos.

NOTA. El curso se basará fundamentalmente el libro de Allaire [All].

Bibliografía básica:

[All] Allaire, G., Numerical Analysis and Optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation,

Oxford U. Press, 2007.

[Bre] Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,

Springer 2010.

[Cia] Ciarlet, Ph.G., Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications,

SIAM, 2013.

[Gro] Groetsch, Ch. W., Elements of Applicable Functional Analysis,

Dekker 1980.

[Sid] Siddiqi, Abul Hasan, Applied Funcional Analysis: Numerical Methods, Wavelet Methods and Image Processing,

Dekker 2004.

[Lax] Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley 2002.

[Zei] Zeidler E., Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics,

Springer (1995).