Profesor | Jesús López Estrada | lu mi vi | 12 a 13 |
Ayudante | Louis David Bretón Tenorio | ma ju | 12 a 13 |
Página del curso: https://sites.google.com/ciencias.unam.mx/anafunap2023-1gpo6022
Objetivos: El propósito central de este curso es introducir al estudiante a los métodos del Análisis
Funcional aplicados a la solución numérica de las EDPs, por métodos de elementos finitos. Curso
que bien se podría llamar Análisis Funcional Aplicado a la resolución numérica de Ecuaciones
Diferenciales Parciales (EDPs) vía su formulación variacional y Métodos de Elementos Finitos (MEF).
Esbozo del curso. Las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs) tienen lugar en una gran variedad
de disciplinas: física, geofísica y tecnología (exploración y producción de petroleo), biomatemáticas,
ecología, biomecánica y medicina (mamografía por impedancia eléctrica, valoración de daño
hepático, flujo sanguíneo y develación de estenosis en coronarias), y finanzas, entre otras.
Como ya se mencionó antes, este curso es una introducción a la formulación variacional en
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDPs), el método de elemento finito y el software de dominio
público FreeFEM. Es un curso teórico práctico básico.
El programa de este curso contempla la revisión de las nociones básicas y teoremas fundamentales
en espacios de Banach, de Hilbert y descomposición espectral de operadores compactos en espacios
de Hilbert. El material sobre la formulación variacional en EDPs y método de elemento finito se
tomara del libro de G. Allaire, Numerical Analysis and Optimization. An introduction to mathematical
modelling and numerical simulation y FreeFEM como ya se mencionó es de dominio público.
Se puede consultar su contenido para comprobar el contenido del material, que incluye espacios
de Sobolev, teoremas de inmersión y de traza que usualmente no se ven en los cursos usuales
de Análisis Funcional.
Asignatura antecedente: Análisis matemático aplicado.
Requerimientos: No indispensable, pero si recomendable: experiencia con algun lenguaje
de programación (Matlab, SciLab, Python y/o C).
Dinámica del curso:
1) Modalidad. Presencial modulo la ocurrencia de una contingencia epidemiológica
de la pandemia del Covid-19.
2) Tareas. El trabajo fuera del aula es fundamental, pues permite enaltecer habilidades para resolver
ejercicios y problemas de la materia. Las tareas constituyen una actividad que permite al docente
monitorear el aprendizaje por parte de los alumnos, como tener elementos de evaluación final de los
alumnos. Estas serán semanales y se podrán entregaran por equipo.
3) Prácticas. Elaboración de prácticas sobre experimentos numéricos con ayuda de una
computadora digital.
4) Proyecto. Elaboración de un proyecto de curso.
Evaluación: La calificación final se compone por un 35% del promedio general de las tareas y en
un 35% del promedio general de los exámenes parciales, digamos 3. Se pueden reponer exámenes
parciales en las dos vueltas de exámenes finales. El restante 30% se obtiene mediante el desarrollo
de un proyecto de curso que cada equipo defenderá ante el grupo.
PROGRAMA
PARTE A. Antecedentes.
1) Espacios Métricos.
Conceptos y teoremas fundamentales.
2) Integral y espacios de Lebesgue.
Nociones y teoremas centrales sobre la medida e integral y espacios de Lebesgue.
3) Espacios de Banach.
Conceptos fundamentales y sus teoremas relevantes.
4) Espacios de Hilbert.
Nociones esenciales y sus teoremas fuertes.
5) Panorámica de los métodos en diferencias vía ejemplos.
Métodos en diferencias y la ecuación del calor. Consistencia y error de truncamiento, método estable y convergencia.
Ecuaciones de advección y de onda.
PARTE B. Análisis Funcional y MEF para EDPs
6) Introducción a las EDPs mediante ejemplos clásicos.
Ecuaciones de calor, de onda, de Laplace, de Schöringer, Lamé, Stokes y del plato.
Simulaciones numéricas.
7) Formulación variacional para problemas elípticos.
Solución clásica y débil variacional. Teorema de Lax-Milgram y su aplicación a problemas
elípticos en formulación variacional.
8) Espacios de Sobolev.
Espacio de funciones de ensayo y derivada débil. Espacios H1(Ω) y Ho1(Ω). Fórmula de Green y teorema de Trazas.
Resultados de compacidad y densidad. Espacios Hm(Ω), H(div) y Wm,p(Ω).
9) Matemática de los problemas elípticos.
Ecuación de Laplace con condiciones de frontera Dirichlet y Neumann.
Propiedades cualitativas. Ecuaciones de Stokes y elasticidad.
10) Método de elemento finito.
Aproximación a la formulación variacional, método de Galerkin, principios generales
del MEF. Elementos finitos en 1D. Elementos finitos P1 , P2 y de Hermite, estimación
de error y convergencia.
Elementos finitos en nD, con n mayor o igual a 2, elementos triangulares y rectangulares,
estimación de error y convergencia, propiedades cualitativas. MEF para problemas de Stokes.
11) Problemas del autovalor.
Solución de problemas no-estacionarios como motivación. Descomposición espectral de operadores compactos.
Autovalores de un problema elíptico, su formulación variacional, autovalores del laplaciano.
MEF para el problema del autovalor, estimación del error y convergencia.
12) Problemas no-estacionarios.
Problemas parabólicos e hiperbólicos, buen planteamiento en su formulación
variacional. Propiedades cualitativas. MEF para problemas parabólicos e hiperbólicos.
NOTA. El curso se basará fundamentalmente el libro de Allaire [All].
Bibliografía básica:
[All] Allaire, G., Numerical Analysis and Optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation,
Oxford U. Press, 2007.
[Bre] Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,
Springer 2010.
[Cia] Ciarlet, Ph.G., Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications,
SIAM, 2013.
[Gro] Groetsch, Ch. W., Elements of Applicable Functional Analysis,
Dekker 1980.
[Sid] Siddiqi, Abul Hasan, Applied Funcional Analysis: Numerical Methods, Wavelet Methods and Image Processing,
Dekker 2004.
[Lax] Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley 2002.
[Zei] Zeidler E., Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics,
Springer (1995).