Física (plan 2002) 2023-1

Optativas, Topología y Geometría Diferencial para Físicos

TOPOLOGIA y GEOMETRIA DIFERENCIAL

(con aplicaciones a la física)

Martes y Jueves 12:00 a 14:00 hrs

La idea del curso es darle al alumno las herramientas analíticas, provenientes de la geometría diferencial, necesarias para el estudio de la relatividad general, teorías de norma, gravitación cuántica, teoría de cuerdas, y cosmología, y que en las últimas décadas han encontrado aplicaciones crecientes en toda la física teórica y en las matemáticas mismas.

El curso introducirá las nociones más importantes de la geometría diferencial moderna, tratando de utilizar esa manera geométrica de pensar para desarrollar intuición física. Este curso es un excelente complemento para quienes lleven simultaneamente la materia de Relatividad, así como para quienes quieran tener las herramientas de la geometría diferencial en general y pseudo-Riemanniana en particular. También representa las bases necesarias para quienes quieran continuar sus estudios hacia aplicaciones de la relatividad y gravitación, cosmología y astrofísica relativista, teorías de norma, etc.

Prerrequisitos: los 4 cálculos, ecuaciones diferenciales, y álgebra lineal.

Ayudará si ya se sabe relatividad especial; si no, es algo que deberán estudiar en las primeras semanas.

TEMARIO:

0. Sinopsis de Relatividad General (Motivación)

1.0 Elementos de Topología

1.1 Variedades Diferenciables

2. Vectores Tangentes y Espacios Tangentes

K. Curvas y Superficies en el Espacio Euclideano

Examen I

3. Algebra Tensorial

4. Campos Tensoriales, y Conmutadores

5. Mapeos de Variedades

N. Formas Diferenciales y Algebra Exterior

Examen II

M. Integración en Variedades

6. Curvas Integrales, y Derivadas de Lie

7. Conexiones Lineales

8. Geodésicas

9. Torsión y Curvatura

Examen III

10. Métrica pseudo-Riemanniana

11. Espacio-Tiempo Newtoniano

12. Relatividad Especial, Electrodinámica, y el Grupo de Poincaré

13. Relatividad General

Examen IV

-------------------------------------------------------------------------------------

calificación final = 0.4 <tareas> + 0.6 <parciales>

-------------------------------------------------------------------------------------

BIBLIOGRAFIA

Topología y Geometría Diferencial:

i) E. Nahmad-Achar: "Topología y Geometría Diferencial con Aplicaciones a la Física", Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)

ii) E. Nahmad-Achar: “Differential Topology and Geometry with Applications to Physics”,

IOP Publishing, http://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-2072-6)

iii) M. Spivak: "Differential Geometry, vols. I & 2", Publish or Perish

iv) Singer, Thorpe: "Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry", Springer Verlag

v) B.F. Schutz: "Geometrical Methods in Mathematical Physics", Cambridge University Press

vi) Nash, Sen: "Topology and Geometry for Physicists", Academic Press

Relatividad:

i) B.F. Schutz: "A First Course of General Relativity", Cambridge University Press

ii) W. Rindler: "Essential Relativity", Springer Verlag

iii) Misner, Thorne, Wheeler: "Gravitation", Freeman

iv) Adler, Bazin, Schiffer: "Introduction to General Relativity", McGraw Hill

vi H. Stephani: "General Relativity: an Introduction to the Theory of the Gravitational Field", Cambridge University Press

Relatividad Avanzada:

i) Hawking, Ellis: "Large Scale-Structure of Space-Time", Cambridge University Press

ii) J. Stewart: "Advanced General Relativity", Cambridge Monographs on Mathematical Physics

iii) Lightman, Press, Price, Teukolsky: "Problem Book in Relativity and Gravitation", Princeton University Press