Física (plan 2002) 2023-1

Optativas, Cálculo Tensorial

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El curso consiste de 5 horas a la semana: 3 horas de teoría, y 2 de ayudantía. Se realizará una reunión con los interesados/inscritos en la primera semana de clase para acordar el método de transmisión del curso, los horarios, entre otros detalles (queremos saber su opinión). Las clases serán mediante reuniones (síncronas sin asistencia obligatoria) en Google Meet/Zoom, las cuales serán grabadas y subidas a la plataforma de Google Classroom, envíen correo si están interesados para que sean añadidos a un grupo de telergam y se les envíe el link de la primera reunión.

En la plataforma de Google Classroom se asignarán las tareas, y se publicarán comentarios del curso así como lecturas sugeridas o material adicional. Los criterios de evaluación son los siguientes:

100% Tareas (Una tarea por sección del temario que se muestra a continuación)

Profesor: Marco Antonio Luna Pacheco, malp_r94@ciencias.unam.mx

Introducción

Espacios vectoriales

Homomorfismos.

Transformaciones lineales.

Topología

Conceptos básicos.

Espacios Topológicos.

Vectores

Producto vectorial y producto escalar.

Representación de vectores en sistemas coordenados.

Notación Indicial

Convención de Suma de Einstein.

Delta de Kronecker y símbolo de Levi-Civita.

Vectores covariantes y contravariantes.

Diferenciales de vectores covariantes y contravariantes.

Álgebra Tensorial

Operaciones

Suma y resta de tensores.

Multiplicación por un escalar.

Producto escalar y potencia.

Producto tensorial.

Doble producto escalar.

Producto vectorial.

Propiedades de los tensores

Representación de tensores en sistemas coordenados.

Transpuesta.

Simetría y Antisimetría.

Traza.

Tensores particulares

Tensor identidad.

Pseudo-Tensor de Levi-Civita.

Determinante de un tensor.

Tensores ortogonales.

Tensor positivo definido, negativo definido y semi-definido.

Transformación de las componentes de tensores.

Introducción a la Geometría Diferencial

Curvas

Curvas parametrizadas.

Producto interior.

Curvas regulares.

Superficies

Superficies regulares.

Funciones diferenciales en superficies regulares.

Plano tangente.

Variedades

Variedades diferenciales.

Espacio tangente.

Uno-formas y el espacio cotangente.

Definición formal de Tensor

Conmutador.

Tensor métrico.

Conexiones

Transporte Paralelo.

Derivada covariante.

Símbolos de la conexión.

Teorema Fundamental de la Geometría Riemanniana.

Tensor de Curvatura de Riemann

Identidades de Bianchi.

Geodésicas

Ecuaciones de Lagrange.

Ecuación geodésica.

Referencias

[1] Boothby, W. M. (2010). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Amsterdam: Academic Press.

[2] Carmo, M. P., & Lawson, B. (1991). Differential geometry. New York, NY: Longman.

[3] Einstein, A. (1973). On the Effect of Gravitation on the Propagation of Light. General Theory of Relativity,128-139.doi:10.1016/b978-0-08-017639-0.50010-8

[4] Hawking, S., & Ellis, G. (1973). The large scale structure of space-time (1st ed., p. 385). Cambridge [England: Cambridge University Press.

[5] Kobayashi, S., & Nomizu, K. (1996). Foundations of differential geometry. New York, NY: Wiley.

[6] Kroon, A., V. (2016). Conformal methods in general relativity. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press.

[7] Malament, D. B. (n.d.). Notes on Geometry and Spacetime - UCI Social Sciences. Retrieved from http://www.socsci.uci.edu/~dmalamen/courses/geometryspacetimedocs/GST.pdf

[8] Norton, J. D. (1993). General covariance and the foundations of general relativity: Eight decades of dispute. University of Pittsburgh. Retrieved January 8, 2019, from https://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/decades.pdf.

[9] Penrose, R. (1987).Techniques of differential topology in relativity. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.

[10] Schutz, B. F. (1999). Geometrical methods of mathematical physics. Cambridge: Cambridge University Press.

[11] Stewart, J. (2003). Advanced general relativity. Cambridge: Cambridge University Press.

[12] Variational Principle Approach to General Relativity. (n.d.). Retrieved from http://www.if.nu.ac.th/sites/default/files/bin/BS_chakkrit.pdf

[13] Wald, R. M. (2009). General relativity. Chicago: Univ. of Chicago Press.