Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de los Conjuntos I

Si usted ha llegado hasta este punto probablemente se está preguntando: ¿Por qué estudiar teoría de conjuntos?

He estado en diversos cursos de teoría de conjuntos (cuando fui estudiante y ahora como profesor) y aún me es dificil contestar a los alumnos cuando me hacen esa pregunta. Creo que la utilidad de la teoría de conjuntos depende en gran medida de la audiencia y de sus objetivos.

Es por eso que en este curso tenemos dos metas:

• Definir las nociones matemáticas con las que trabajamos cotidanamente (union, intersección, función, relación, número natural, tamaño de un conjunto) utilizando los axiomas de Zermelo y Fraenkel. En otras palabras, estamos interesados en los fundamentos que dan lugar a los conceptos con los que trabajamos cotidianamente en matemáticas.
• Proporcionar al alumno las herramientas que le permitirán continuar con el estudio de ordinales y cardinales (en teoría de conjuntos II). El manejo de estos es indispensable en la teoría de conjuntos avanzada ya que la gran mayoría de los problemas están planteados en términos de ordinales y cardinales.

Dicho esto, creo que el curso es adecuado para los alumnos que solo desean una introducción a la teoría de conjuntos y también dotará de los conocimientos suficientes a los alumnos que decidan continuar con sus estudios en esta materia.

Otro punto delicado es el uso de la lógica matemática. La teoría de conjuntos utiliza un lenguaje de primer orden así que es imposible no hablar de lógica matemática. Debo dejar claro que no es indispensable haber tomado cursos de lógica matemática para llevar este curso. Presentaremos el lenguaje de la teoría de conjuntos y fomentaremos el uso de fórmulas para expresar propiedades, pero en ningún momento haremos uso de los resultados que se presentan en los cursos de lógica matemática.

Sobre el contenido del curso, el temario está dividido en 6 partes:

1. Axiomas y lenguaje de la Teoría de Conjuntos.
2. Álgebra de conjuntos.
3. Relaciones y funciones.
4. Números naturales.
5. Cardinalidad.
6. Axioma de elección.

Sobre la evaluación, habrá una tarea y un examen para cada sección del temario. Cada tarea será publicada un par de semanas antes del examen con la finalidad de que tengan tiempo para resolver sus dudas y puedan presentar un buen examen. El examen estará compuesto de ligeras modificaciones a los ejercicios de la tarea.