Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de la Medida I

Nota: A los nuevos inscritos les pido por favor contactarnos para proporcionarles el enlace de Clasroom.

El objetivo del curso es estudiar de manera rigurosa resultados básicos sobre medidas e integración sobre espacios de medida abstractos. Adicionalmente, estudiaremos algunos resultados de la teoría de probabilidad en el contexto de teoría de la medida.

El curso puede ser útil para estudiantes interesados en profundizar en temas de análisis y/o introducirse formalmente a la teoría de la probabilidad.

Conocimientos previos necesarios: Cálculos, Álgebra superior 1 (la parte de álgebra de conjuntos), Análisis matemático 1 (sobre todo la parte de sucesiones, series y definiciones básicas de espacios métricos y normados).

Comparto el canal del curso de Teoría de la Medida que impartí como profesor el semestre 2021-2:

https://youtube.com/channel/UCbfGENx5fp7ugNGsIeJ3LaA

Es importante mencionar que aunque este material será utilizado como base para abordar los temas, no será reutilizado, se realizarán nuevos vídeos dependiendo de la dinámica que elija el grupo.

Temario

El temario que cubriremos es el siguiente:

1. Medidas

1.1. σ-álgebras de subconjuntos.

1.2. Medidas sobre σ-álgebras.

1.3 Medidas de probabilidad sobre espacios discretos.

1.4. Medidas exteriores, teorema extensión de Carathéodory y teorema de extensión de Hahn.

1.5. Medidas de Borel sobre la recta real: medida de Lebesgue y medida de Lebesgue-Stieltjes (como caso particular, medidas asociadas a una distribución de probabilidad).

1.6. Medida de Lebesgue en Rⁿ (*).

2. Integración

2.1. Funciones medibles respecto de una σ-álgebra.

2.2. Variables aleatorias y su ley o distribución asociada, existencia de variables aleatorias con una distribución dada.

2.3. La integral de funciones medibles no negativas, teorema de convergencia monótona y lema de Fatou.

2.4. La integral de funciones con valores reales extendidos, teorema de convergencia dominada e integrales dependientes de parámetros.

2.5. Comparación con la integral de Riemann.

2.6. Esperanza de variables aleatorias y algunos resultados: desigualdad de Jensen, desigualdad de Tchebyshev y regla de la esperanza (o teorema de cambio de variable).

2.7. La integral de funciones con valores complejos (*).

2.8. Espacios Lp: Desigualdad de Minkowski, desigualdad de Hölder y completitud de los espacios Lp.

3. Modos de convergencia.

3.1. Convergencia en medida, convergencia en Lp y convergencia casi uniforme, y relaciones entre los distintos modos de convergencia.

3.2. Teorema de convergencia dominada en Lp.

3.3. Teorema de Egorov.

3.4. Teorema de convergencia de Vitali.

4. Medida producto

4.1. Construcción de la medida producto y teorema de Tonelli-Fubinni.

4.2. Independencia de variables aleatorias.

4.3. Función característica de variables aleatorias y propiedades (*).

4'. Medidas con signo

4'.1. Teoremas de descomposición de Hahn y de Jordan.

4'.2. Medidas complejas (*).

4'.3. Teorema de Radon-Nikodym y aplicaciones, en particular, una (muy) breve introducción a la esperanza condicional de variables aleatorias.

4'.4. Teorema de descomposición de Lebesgue y descomposición de medidas de Borel sobre la recta real.

4'.5. Teorema de representación de Riesz (*).

Aclaraciones sobre el temario: Las secciones marcadas con (*) se cubrirán si el tiempo lo permite. Podrán elegir entre los capítulos 4 y 4' de acuerdo a sus intereses, nos podemos poner de acuerdo al inicio del curso o después de cubrir el capítulo 2 (en mi opinión, en este punto tendrán las bases necesarias para tomar una decisión más clara).

Dinámica del curso: El curso se cubrirá mediante vídeos pregrabados, estos se subirán a más tardar a la hora de clase. Semanalmente habrá sesiones no obligatorias en línea, una o dos con el profesor (de acuerdo a sus necesidades) y una con el ayudante. Estas sesiones las dedicaremos a consultar dudas de los vídeos y/o resolución de ejercicios. Además de la bibliografía, tendremos notas de clase como material de apoyo.

Al inicio del curso también se podrá discutir con el grupo si prefieren sesiones en vivo.

Contaremos con Classroom para subir el material de clase y para la entrega de tareas.

Evaluación: El curso se evaluará mediante cuatro tareas examen (alrededor de 10 problemas y una por cada capítulo) y adicionalmente podrán entregar ejercicios que ayuden a subir calificación. Las tareas se pueden entregar de manera individual o en parejas.

Reposiciones y final: Podrán reponer DOS de sus tareas examen por medio de un examen escrito y también habrá un examen final en caso de que lo requieran.

Bibliografía principal:

Para la parte de teoría de la medida general:

• Gerard B. Folland. Real Analysis.
• Bartle. The Elements of Integration and Lebesgue Measure.
• Grabinsky. Teoría de la Medida.

Para los resultados de probabilidad:

• Patrick Billingsley. Probability and Measure. (Esta puede resultar también útil para teoría de la medida general).
• Protter. Probability Essentials.

Bibliografía complementaria:

• Cohn. Measure Theory.
• Rudin. Real and Complex Analysis.
• Dudley. Real Analysis and Probability.
• Schilling. Measures, Integrals and Martingales.
• Royden. Real Analysis.
• Halmos. Measure Theory.
• Durret. Probability:Theory and Examples.
• Ash. Real Analysis and Probability.

Información de contacto:

Cualquier duda y sugerencia que tengan sobre el curso, tengan la confianza de comunicarse con nosotros por medio de nuestros correos electrónicos:

Profesor: hbelmont@ciencias.unam.mx

Ayudante: aam08@ciencias.unam.mx