Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de la Medida I

Objetivo

Este curso buscará lograr una comprensión profunda de las definiciones, teoremas y demostraciones relacionadas con la medida, la integración y el análisis real. Además, aprovechará el desarrollo de la teoría de la medida para presentar el lenguaje básico y el enfoque de la teoría de la probabilidad.

Temario

Los temas que vamos a cubrir serán los siguientes:

1. Repaso de la Integral de Riemann
2. Medidas
3. Integración
4. Diferenciación
5. Medidas Producto
6. Espacios de Lebesgue
7. Medidas de Probabilidad

Bibliografía

La referencia principal será:

• Measure, Integration & Real Analysis, S. Axler, Springer GTM 282 (2020).

Una versión gratuita, legal y electrónica de este libro se encuentra disponible en la siguiente página:

https://measure.axler.net

Algunas referencias complementarias son:

• The Elements of Integration and Lebesgue Measure, R.G. Bartle, Wiley Classics (1995).
• Teoría de la Medida, G. Grabinsky, Prensa de Ciencias (2009).
• Measure Theory, P. R. Halmos, Springer GTM 18 (1974).
• An Introduction to Measure Theory, T. Tao, AMS GSM 126 (2011).

Evaluación

A lo largo del semestre habrá entre 3 y 4 exámenes individuales (100% calificación) y el promedio de las calificaciones de estas evaluaciones será su calificación final. Los problemas que aparezcan en cada examen serán un subconjunto de los ejercicios de los capítulos correspondientes del libro de Axler. Trabajar en los ejercicios deberá ser el modo principal de aprendizaje.

Prerrequisitos

Una buena comprensión de los conceptos y resultados elementales del análisis real vistos en la materia de Análisis Matemático I. El curso iniciará con un repaso para refrescar las definiciones estándar, la notación y los resultados necesarios. Los temas que se verán en este repaso serán:

• Campos Ordenados Completos
• Supremos e Ínfimos
• Subconjuntos Abiertos y Cerrados de R^n
• Sucesiones y Continuidad (Teorema de Bolzano-Weierstrass)