Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Grupo 4288, 30 lugares. 28 alumnos.
Geometría de formas diferenciales y foliaciones.
Salon Gaciela Salicrup del IMATE
Profesor Laura Ortiz Bobadilla lu mi vi 8 a 9
Ayudante Gilberto Bruno Pérez ma ju 8 a 9
 

Seminario de Geometría B
Formas diferenciales y foliaciones.


Salón de seminarios Graciela Salicrup del Instituto de Matemáticas.
Lunes a viernes (8-9 am.) - Estamos a la espera de la aprobación de la Comisión de Asignación de Cursos para poder impartir en este horario.
Laura Ortiz Bobadilla (profesora)
Gilberto Bruno Pérez (ayudante)


El objetivo de este curso es dar a los estudiantes una herramienta de gran utilidad: las formas diferenciales. El enfoque que se dará pone el acento en la comprensión geométrica del lenguaje de las k-formas y de las k-formas diferenciales. Para ello nos apoyaremos fuertemente en el libro de V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics (capítulo 7).

Una vez asimilados los conceptos de formas diferenciales pasaremos a hacer uso de ellas en variedades. Veremos la relación que hay de ellas con las ecuaciones diferenciales ordinarias y la teoría de foliaciones. Daremos nociones básicas de homología y cohomología de modo que el alumno tenga un primer acercamiento a estos conceptos desde un punto de vista geométrico.


1. k- formas y su interpretación geométrica.
2. Producto exterior de k formas.
3. Formas diferenciales.
4. Formas diferenciales cerradas y exactas.
5. Primer grupo de cohomología de de Rham.
6. Derivada exterior de formas diferenciales.
7. Concepto de forma diferencial inducida (“pullback”).
8. Formas diferenciales en superficies y en variedades.
9. Foliaciones y explosión de singularidades haciendo uso de la herramienta de formas.
10. Integración de formas.
11. Lema de Poincaré para 1-formas.
12. Integración en variedades.
13. Conceptos básicos de homología.
14. Teorema de Stokes (general).
15. Teorema de de Rham (se presenta sin demostración, si bien se darán los aspectos fundamentales de su prueba).
16. Sucesión de Mayer-Vietoris.
17. Teorema de Frobenius.
Habrá clase todos los días y no se seguirá linealmente un libro, por lo que la asistencia es fundamental. Algún punto (no muy complicado) del material de la clase se les dejará investigar a los alumnos por su cuenta (esto para evitar cortar el hilo conductor del curso) y poder hacer uso de éste.

Las evaluaciones pueden combinar la aplicación de un examen como la entrega de tareas (todas son obligatorias) y tareas-examen.

Como prerrequisitos se sugiere haber cursado los cuatro cursos de cálculo deferencial y un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Bibliografía.
Se hará uso de los siguientes libros (aunque en el transcurso del semestre se irá recomendando alguna otra bibliografía):
a) Arnold V.I., “Mathematical Methods of Classical Mechanics” (capítulo 7).
b) Tu L. "An introduction to manifolds", Universitext, Springer Verlag.
c) Morita S., “Geometry of Differential forms”.

 


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