Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Grupo 4287, 23 lugares. 4 alumnos.
Curvas algebraicas reales y complejas
Profesor Miguel Angel Guadarrama García lu mi vi 16 a 17 P105
Ayudante Luis Gerardo Hernández Chávez ma ju 16 a 17 P105

 

PRESENTACIÓN

Este curso es introductorio a la geometría algebraica, su propósito es estudiar propiedades topológicas y geométricas de las curvas algebraicas reales y complejas. En particular, en el caso real, estudiaremos los principales aspectos de la clasificación hasta grado 7. Por otro lado, el objetivo en el caso complejo es estudiar propiedades de las curvas algebraicas a partir de la superficie de Riemann asociada.

Código de Classroom: wehu2ys

TEMARIO

1.- Curvas algebraicas

  • Conjuntos algebraicos afines.
  • Curvas algebraicas afines.
  • Conjuntos algebraicos proyectivos.
  • Curvas algebraicas proyectivas.
  • Anillo de coordenadas de una curva algebraica.
2.- Curvas regulares y singulares.
  • Puntos singulares y puntos no singulares.
  • Rectas tangentes y orden de contacto.
  • Multiplicidad de intersección. Teorema de Bezout.
  • Conjunto singular de una curva algebraica.
3.-Curvas asociadas a una curva: Curva polar, dual, de inflexión y Hessiana.
  • Curvas Polares.
  • Curvas Duales.
  • Curvas Hessianas y curva de inflexión.
  • Fórmulas de Plucker y cota de Jacobi.
4.- Topología de curvas algebraicas sobre C.
  • La superficie de Riemann de una curva algebraica
  • Teorema de Riemann-Hurwitz.
  • La fórmula del género.
  • La fórmula del género de Plucker
  • La fórmula del género de Max Noether

5.- Topología de Curvas algebraicas reales.

  • Curvas de Harnack y Hilbert
  • Isotopías de curvas y el teorema de Gudkov

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

  • Benedetti R., Risler J. J., Real algebraic and semialgebraic sets, Hermann, París, (1990).
  • De La Puente Muñoz M. J., Curvas algebraicas y planas. Servicio de Publicaciones de la universidad de Cadiz (2007).
  • Fischer G., Plane algebraic curves, translated by Leslie Kay, Providence, Rhode Island : American Mathematical Society (2001)
  • Gibson C. G., Elementary geometry of algebraic curves : an undergraduate introduction. Cambridge ; New York : Cambridge University Press (1998).
  • Kunz E., Introduction to Plane Algebraic Curves. Birkhäuser Boston (2000).

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

  • Arnold V. I., Real Algebraic Geometry. Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2013).
  • Bochnak J., Coste M., Roy M-F., Real Algebraic Geometry. Berlin ; New York : Springer Verlag (1998).
  • Fulton W., Curvas algebraicas, introducción a la geoemetría algebraica. Reverté (1971).
  • Kendig K., Elementary Algebraic Geometry, Mineola, New York : Dover Publications (2015).
  • F Kirwan, Complex Algebraic Curves, LMS Student Texts 23, Cambridge (1992).
  • Labs O., A List of Challenges for Real Algebraic Plane Curve Visualization Software, Nonlinear Computational Geometry, edited by I. Emiris and F. Sottile and T. Theobald, IMA Volume 151, Springer. pp. 137-164.

REQUISITOS

  • Preferentemente haber llevado o estar llevando un curso de Algebra Moderna.

EVALUACIÓN

  • Tareas (50%)

    • Estarán formadas por una lista de ejercicios que se entregarán escritas a mano o a computadora o inclusive, algunos de ellos podrán ser seleccionados para exposición frente al grupo. Generalmente, tendrán entre una semana y hasta quince días para entregar los ejercicios resueltos.

  • Exámenes (50%)

    • Si las condiciones lo permiten, los examenes serán en el salon de clase, de otra forma serán examenes para realizar en casa.

 


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