Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Bienvenidos a Transformaciones de Moebius y grupos Kleinianos

AVISO: La clase es en el salón S104, en el primer piso del depto de matemáticas

Las transformaciones de Moebius son homeomorfismos conformes de la esfera de dimensión 2, S^2, en ella misma y su contexto natural son el plano de los números complejos C y la esfera de Riemann. Son de importancia en matemáticas y física debido a su variedad de aplicaciones y la profundidad de estas: bajo composición forman un grupo denominado PSL(2,C), cuando los coeficientes de las transformaciones son números reales estas forman el grupo de isometrías orientadas del semiplano hiperbólico H^2; cuando tomamos todas las transformaciones de Moebius, estas forman el grupo de isometrías orientadas del espacio hiperbólico H^3 bajo extensión de Poincaré; en teoría de la relatividad, las tranformaciones de Lorentz son transformaciones de Moebius; y así continúan las aplicaciones en diversas áreas de las ciencias.

Los subgrupos discretos de PSL(2,C) son denominados grupos Kleinianos y son una rama de las matemáticas en sí mismos. Y es que bajo acción de grupo, los grupos Kleinianos forman sistemas dinámicos interesantes en la esfera de Riemann, donde surgen los conjuntos límite y ordinario, que poseen una belleza fractal atrayente. Por ejemplo tenemos la siguiente relación con geometría, cualquier superficie hiperbólica puede verse como el cociente del disco hiperbólico con la acción de algún grupo Kleiniano. Y dentro de los grupos Kleinianos están los grupos Fuchsianos que son más fáciles de entender para estudiantes de licenciatura.

Otro vínculo interesante se da con la rama de las matemáticas llamada dinámica holomorfa, consistente en sistemas dinámicos discretos que emergen de la iteración de funciones holomorfas en superficies de Riemann (superficies orientadas). Este consiste en que muchos conceptos, definiciones y teoremas de grupos Kleinianos tienen un análogo en dinámica holomorfa, a esta relación se le denota como diccionario de Sullivan.

A continuación dejamos unos enlaces a dos videos relacionados con tranformaciones de Moebius llamados Dimensions y hechos por la Universidad de Lyon, así como links a la wikipedia que hablan sobre las transformaciones de Moebius y los grupos Kleinianos. ¡Nos vemos pronto!

https://www.youtube.com/watch?v=zL3olJKXQo0&list=PLw2BeOjATqrsZAYGGJTbAWkhKEV7C44nk&index=1

https://www.youtube.com/watch?v=6ijTDOKEhVQ&list=PLw2BeOjATqrsZAYGGJTbAWkhKEV7C44nk&index=2

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_de_M%C3%B6bius

https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_kleiniano

https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation

https://en.wikipedia.org/wiki/Kleinian_group