Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra A

¡HOLA!

Les damos la bienvenida al curso de “Seminario de Álgebra A: Teoría de Categorías”.

La primera sesión será a las 10:00 de la mañana el día lunes 15 de agosto 2022 en el salón que nos sea asignado. En esta reunión se aclararán dudas acerca del curso.

DINÁMICA

1.- El curso será presencial.

2.-Las herramientas que usaremos para el curso será: Google Classroom, ahí les subiremos las tareas del curso. La clave del classroom es: xzxuaqk

3.- Los días de ayudantía serán los miércoles y viernes.

EVALUACIÓN

La evaluación se realizará mediante 3 o 4 tareas-examen que valdrán el 100% de la calificación y que se pueden entregar en equipo de a lo más 3 personas. No habrá reposiciones ni examen final.

El siguiente temario que se propone es optativo y lo abarcaremos hasta donde el tiempo nos lo permita.

1.Nociones básicas

• Categoría dual
• Morfismos y subobjetos
• Pullbacks y pushouts
• Uniones e imágenes
• Kerneles y Cokerneles
• Normalidad
• Categorías exactas
• Productos y Coproductos
• Categorías aditivas
• Categorías abelianas

2. Diagramas y funtores

• Límites inversos y directos
• Funtores aditivos
• Equivalencia de categorías
• Categoría de funtores

3.-Ejemplos de categorías abelianas

• Categorías de módulos
• Categorías de gavillas con valores en grupos
• Categoría de funtores con valores en grupos

4. Categorías Completas

• Categorías C_{i}
• Envolventes inyectivas
• Categorías de Grothendieck

5.- Teoremas de inmersión

• El teorema de inmersión de Freyd
• El teorema de inmersión de Barry Mitchell
• Consecuencias del teorema de inmersión.

6.- Funtores adjuntos

• Teorema de existencia de Freyd
• Reflexiones
• Monosubcategorías
• Extensiones de Kan

7.-Localización en categorías abelianas

• Categoría de fraccciones y sistemas calculables
• Categorías conexas y casi directas
• El teorema de Gabriel-Popescu

8.- La categoría Mod(C)

• Objetos Compactos
• Objetos finitamente presentados
• Variedades de annuli
• Dimensión proyectiva

Bibliografía

• B. Mitchell. Theory of Categories. Columbia University, New York, (1964).
• B. Mitchell. Rings with several objects. Advances in Mathematics, 8, 1-161 (1972).
• N. Popescu. Abelian Categories with applications to rings and modules. Academic Press, London, New York, (1973).
• P. Gabriel. Des Catégories Abéliennes. Bulletin de la S. M. F, tome 90, 323-448 (1962)
• A. Grothendieck. Sur quelques points d’algébre homologique. Tohoku Math. J. Vol. 9 (1957)
• P. Freyd. Abelian categories. Columbia University, New York (1962)
• I. Bucur, A. Deleanu. Introduction to the theory of categories and functors. John Wiley, (1968)
• S. Maclane. Categories for the working mathematician. Graduate texts in mathematics 5, Springer.