Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Lógica Matemática III

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Temario y Bibliografía

Primero definiremos una categoría como conjuntos. Esto lo haremos de forma axiomática y el objetivo es demostrar un teorema de puntos fijos que yo atribuyo a Lawvere.

Para este parte la bibliografía principal es Sets for Mathematics de Lawvere y Rosebrugh. Cuando sea necesario también revisaremos Sheaves in Geometry and Logic de Mac Lane y Moerdijk.

Luego veremos algo de lógica: satisfacción, verdad, demostrabilidad y representabilidad. Además veremos qué es una enumeración de Gödel. Cuando haga falta, en esta perte revisaremos Mathematical Logic de Mendelson.

Después veremos aplicaciones del teorema de Lawvere: el teorema de Cantor, la paradoja de Russell, un teorema de Tarski y finalmente el primer teorema de incompletud de Gödel. Además, veremos cuales fueron las razones políticas por las que se consideró al teorema de Gödel como el más importante del siglo pasado. La bibliografía de este punto será Diagonal Arguments and Cartesian Closed Categories de Lawvere.

Finalmente, como tema opcional, cubriremos un punto que fue muy criticado en la demostración clásica del teorema de Gödel. Originalmente se usa la enumeración de Gödel para construir un enunciado aritmético que dice "yo soy indemostrable", algo que no tiene ningún interes matemático. Entonces, construiremos un enunciado aritmético con contenido matemático que sea verdadero pero que no se pueda demostrar. En esta parte seguiremos Model Theory de Marker.

Temario más específico

1. La categoría de conjuntos abstractos
2. Algunos límites y colímites (productos fibrados y coproductos)
3. Exponenciales
4. Clasificador de subobjetos
5. Puntos fijos y el teorema de Lawvere
6. Numeración de Gödel
7. Satisfacción, verdad y demostrabilidad
8. Teoremas de Cantor, Tarski y Gödel
9. Discusión acerca de la importancia política del teorema de Gödel

Posibles temas adicionales

• Indiscernibles
• Enunciados verdaderos y no demostrables en la aritmética de Peano
• La lógica interna de la categoría de conjuntos abstractos
• El Lauter Einsen de Cantor
• Ejemplos de dialéctica en matemáticas (derivadas, abierto-cerrado, par-impar, discreto-codiscreto,...)