Matemáticas (plan 1983) 2023-1
Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales I
Grupo 4248, 15 lugares. 12 alumnos.
Requisitos: Cálculo Diferencial e Integral I-IV, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I y Álgebra lineal I.
Temario:
I. Ecuaciones de primer orden.
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Dinámica de Tráfico y modelos en dinámica de medios continuos.
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Existencia local (método de características para ecuaciones lineales, cuasilineales y completamente no-lineales).
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Estimaciones a priori.
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Leyes de conservación escalares (soluciones débiles, condiciones de salto y criterio de entropía).
II. Elementos de Análisis.
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Notación de multi-índices.
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Convolución y regularizadores.
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Transformada de Fourier.
III. Ecuación de onda.
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Ecuación de onda en una dimensión espacial (cuerda vibrante , separación de variables, fórmula de D'Alambert, principio de Duhamel e identidad de Green-Lagrange).
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Ecuación de onda en varias dimensiones espaciales (Método de promedios esféricos, fórmula de Kirchhoff y principio de Huygens, principio del descenso de Hadamard, fórmula de Poisson, principio de Duhamel y unicidad por el método de energía).
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Estimaciones de energía.
IV. Ecuaciones de Laplace y Poisson.
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Funciones armónicas (propiedad del promedio, principios del máximo, solución fundamental, desigualdad de Harnack, regularidad y teorema de Weyl).
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Función de Green (Representación de Green, funciones de Green para el semi-espacio y la bola).
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Unicidad de problemas no acotados.
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Separación de variables.
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Ecuación biarmónica (*).
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Teorema de descomposición de Helmholtz (*).
V. Ecuación de calor.
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Problema de Cauchy (solución fundamental, regularidad, no unicidad, y principio del máximo global).
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Problemas con valores iniciales y de frontera (separación de variables, principios del máximo).
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Estimaciones a priori.
Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.
Bibliografía:
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Evans. Partial Differential Equations.
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Folland. Introduction to Partial Differential Equations.
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Han. A Basic Course in Partial Differential Equations.
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Han, Lin. Elliptic Partial Differential Equations.
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John. Partial Differential Equations.
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Lax. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves.
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Pinchover, Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations.
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Pinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Applications.
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Prasad, Ravindran. Partial Differential Equations.
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Salsa. Partial Differential Equations in Action.
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Strauss. Partial Differential Equations.
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Vasy. Partial Differential Equations.
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Zauderer. Partial Differential Equations.
Evaluación:
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El curso se evaluará mediante tareas quincenales que valdrán el 50% de la calificación final y con exámenes parciales (3-4) que valdrán el 50% restante de la calificación.
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El alumno tendrá derecho a la reposición de un parcial.
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Cada alumno inscrito tendrá derecho a un examen final que estará dividido en tres partes. Dos exámenes parciales escritos y la entrega de una tarea examen.