Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales I

Requisitos: Cálculo Diferencial e Integral I-IV, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I y Álgebra lineal I.

Temario:

I. Ecuaciones de primer orden.

• Dinámica de Tráfico y modelos en dinámica de medios continuos.
• Existencia local (método de características para ecuaciones lineales, cuasilineales y completamente no-lineales).
• Estimaciones a priori.
• Leyes de conservación escalares (soluciones débiles, condiciones de salto y criterio de entropía).

II. Elementos de Análisis.

• Notación de multi-índices.
• Convolución y regularizadores.
• Transformada de Fourier.

III. Ecuación de onda.

• Ecuación de onda en una dimensión espacial (cuerda vibrante , separación de variables, fórmula de D'Alambert, principio de Duhamel e identidad de Green-Lagrange).
• Ecuación de onda en varias dimensiones espaciales (Método de promedios esféricos, fórmula de Kirchhoff y principio de Huygens, principio del descenso de Hadamard, fórmula de Poisson, principio de Duhamel y unicidad por el método de energía).
• Estimaciones de energía.

IV. Ecuaciones de Laplace y Poisson.

• Funciones armónicas (propiedad del promedio, principios del máximo, solución fundamental, desigualdad de Harnack, regularidad y teorema de Weyl).
• Función de Green (Representación de Green, funciones de Green para el semi-espacio y la bola).
• Unicidad de problemas no acotados.
• Separación de variables.
• Ecuación biarmónica (*).
• Teorema de descomposición de Helmholtz (*).

V. Ecuación de calor.

• Problema de Cauchy (solución fundamental, regularidad, no unicidad, y principio del máximo global).
• Problemas con valores iniciales y de frontera (separación de variables, principios del máximo).
• Estimaciones a priori.

Los temas marcados con (*) se impartirán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Evans. Partial Differential Equations.
• Folland. Introduction to Partial Differential Equations.
• Han. A Basic Course in Partial Differential Equations.
• Han, Lin. Elliptic Partial Differential Equations.
• John. Partial Differential Equations.
• Lax. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves.
• Pinchover, Rubinstein. An Introduction to Partial Differential Equations.
• Pinsky. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Applications.
• Prasad, Ravindran. Partial Differential Equations.
• Salsa. Partial Differential Equations in Action.
• Strauss. Partial Differential Equations.
• Vasy. Partial Differential Equations.
• Zauderer. Partial Differential Equations.

Evaluación:

• El curso se evaluará mediante tareas quincenales que valdrán el 50% de la calificación final y con exámenes parciales (3-4) que valdrán el 50% restante de la calificación.
• El alumno tendrá derecho a la reposición de un parcial.
• Cada alumno inscrito tendrá derecho a un examen final que estará dividido en tres partes. Dos exámenes parciales escritos y la entrega de una tarea examen.