Matemáticas (plan 1983) 2023-1
Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II
Grupo 4245, 44 lugares. 22 alumnos.
La presentación del curso se divide en tres apartados. El primero y el segundo desarrollan de manera puntual el temario y la dinámica de la clase. El tercer apartado consiste en una serie consideraciones importantes a tener en cuenta. Nuestra primera sesión será el lunes 15 de agosto, a la hora y en el salón indicados en los horarios.
Contenido del curso y bibliografía
En este curso nos enfocaremos en estudiar ecuaciones diferenciales no lineales. Entre las motivaciones principales de nuestro estudio está comprender los retratos de las fases alrededor de dos tipos de soluciones: puntos singulares y órbitas periódicas. Estos estudios nos permitirán, de manera natural, plantear problemas sobre perturbaciones de ecuaciones diferenciales, donde dado un campo vectorial, éste se modifica al cambiar ligeramente los coeficientes que lo definen.
Las perturbaciones surgen al considerar fenómenos físicos, biológicos o biomédicos que dependen de parámetros, y donde resulta trascendental comprender si pequeñas variaciones alteran o no el comportamiento de los fenómenos. En términos de las ecuaciones diferenciales, el caso en que no hay alteraciones en el comportamiento se conoce como propiedad de estabilidad, y el caso en que sí hay modificaciones sustanciales se conoce como fenómeno de bifurcación.
Entre los principales resultados de este curso, daremos condiciones para asegurar que nuestras ecuaciones diferenciales son estables, y también daremos ideas y técnicas que se usan frecuentemente en el análisis de bifurcaciones. En general, abordaremos técnicas y resultados clásicos en el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales, que se emplean y se siguen desarrollando en investigaciones actuales.
Clasificación topológica de ecuaciones diferenciales
El resultado principal que abordaremos en esta parte es el teorema de linealización de Grobman-Hartman, que nos permitirá comprender el retrato de las fases de una ecuación diferencial alrededor de un punto singular. Para hacerlo, comenzaremos retomando la geometría de las ecuaciones diferenciales lineales, considerando los diversos tipos de retratos de las fases que podríamos tener en el caso de dos variables. Esto nos permitirá introducir nociones que permiten "clasificar" los diversos tipos de comportamientos, entre ellos, la equivalencia topológica de ecuaciones diferenciales. A partir de ello, pasaremos a ecuaciones no lineales y abordaremos el problema de clasificación topológica mediante el teorema de Grobman-Hartman.
El teorema de Grobman-Hartman en la perturbación de ecuaciones hamiltonianas
En este apartado tomaremos como motivación el teorema de Grobman-Hartman para abordar perturbaciones de ecuaciones hamiltonianas e integrables. Comenzaremos retomando las nociones geométricas de este tipo de ecuaciones diferenciales. En particular, esto nos permitirá introducir y trabajar con la noción de punto singular de "tipo centro" y "tipo silla" de manera formal, usando el conocido lema de Morse. Dada la importancia de este resultado en varias áreas, daremos su demostración usando una importante herramienta de ecuaciones diferenciales: el método homotópico.
Puntos no singulares: el teorema de rectificación
En el estudio de puntos no singulares de una ecuación, el teorema de rectificación es el resultado que nos describe totalmente la geometría local entorno a puntos que no son singulares. Daremos su demostración, y la luz de este resultado y del teorema de Grobman-Hartman, abordaremos ejemplos para distinguir, de manera formal, la diferencia sustancial entre los puntos singulares y los puntos no singulares de una ecuación diferencial.
Órbitas periódicas. Teorema de Andronov-Vitt
Al igual que los puntos singulares de un campo, las órbitas periódicas son soluciones de especial interés dentro del estudio de ecuaciones diferenciales. Una de las razones es que el comportamiento alrededor de las órbitas periódicas puede ser muy variado, y comprenderlo nos puede llevar a comprender buena parte del retrato de las fases de la ecuación diferencial. En este apartado estudiaremos una propiedad conocida como estabilidad de Liapunov. El teorema de Andronov-Vitt, uno de los principales resultados que abordaremos en esta parte, nos da condiciones para saber si la órbita periódica tiene esta propiedad de estabilidad, tanto para la ecuación como para sus perturbaciones. Para poder abordar este resultado y sus consecuencias, vamos a introducir herramientas importantes tales como la transformación de Poincaré; estudiaremos fundamentos de ecuaciones diferenciales con coeficientes periódicos, como la transformación de monodromía y el teorema de Floquet-Liapunov. Además, abordaremos la relación entre transformación de monodromía y transformación de Poincaré.
Teorema de Poincaré-Bendixon
En esta parte se estudiará el teorema de Poincaré-Bendixon, un resultado clásico que nos ayuda a comprender a qué conjunto de puntos se acumulan las soluciones a una ecuación diferencial. En este apartado veremos que bajo ciertas condiciones, esos puntos de acumulación están formados por puntos singulares y órbitas periódicas de la ecuación diferencial. Este tema se abordaría en función del tiempo que reste en el curso.
Introducción a la teoría de bifurcaciones
En este tema cada ecuación diferencial se analiza como parte de una familia; ya no como un objeto aislado, sino como parte de un conjunto de ecuaciones que tienen ciertas características comunes. En función del tiempo que nos reste en el curso, se abordarían ejemplos donde se exploren técnicas y razonamientos que se usan frecuentemente en el área de teoría de bifurcaciones, y el teorema de Poincaré-Pontriaguin sobre perturbaciones de campos vectoriales hamiltonianos y generación de ciclos límite.
Material bibliográfico
Los libros que pueden servir de apoyo en el curso son:
V.I. Arnold, “ Ordinary Differential Equations”, Springer-Verlag.
P. Hartman, "Ordinary Differential Equations", Society for Industrial and Applied Mathematics.
Dinámica del curso
Enseguida describimos la dinámica del curso, considerando los rubros Clases y Evaluación.
Clases
Se tendrán tres sesiones a la semana con la profesora y dos sesiones con el ayudante. Es importante mencionar que para comprender cada uno de los temas del curso se deberá asistir a las cinco sesiones, ya que el desarrollo de ejemplos abonará no sólo en la comprensión de la teoría sino también en su propio desarrollo.
En todas las clases se atenderán las dudas de los temas que se estén viendo o que se hayan visto. También se podrán resolver dudas específicas sobre los ejercicios de las tareas, una vez que el estudiante los haya intentado por su cuenta y tenga propuestas de resolución.
Evaluación
La evaluación se hará por medio de tareas (100% de la calificación). Se permitirá reponer hasta dos tareas, o bien, hacer un examen final, siempre y cuando se hayan enviado al menos la mitad de las tareas que se dejen a lo largo del semestre.
Consideraciones importantes
- Se pedirá que las tareas tengan una redacción clara. También se requerirá que estén escritas a mano, con letra grande y legible.
- Para que las tareas sean evaluadas será necesario que se entreguen en los plazos establecidos.
- Si hay tareas que sean copias, ya sea parciales o totales, éstas se anularán, o bien, se harán exámenes orales a todas las personas que las hayan presentado.
Inicio
Contacto
Mapa del sitio
Directorio
Correo
Tienda Virtual
Ingresar
Facebook
Twitter
Youtube