Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Grupo 4219, 45 lugares. 14 alumnos.
Profesor Julio César Pardo Dañino lu mi vi 14 a 15 Aula Magna P
Ayudante Fernan Ulises Castelán Acastenco ma ju 14 a 15 Aula Magna P
 

CURSO DE VARIABLE COMPLEJA I (2023-1)

PRESENTACIÓN

El objetivo de éste curso es estudiar las funciones de Variable Compleja, y se espera que, al finalizar, quienes lleven el curso, sepan la geometría de los números complejos, así como poder efectuar cálculos con complejos. El curso tendrá desde carácter más geométrico ya que ayuda al entendimiento del mundo complejo.

Seguiremos, como fuente principal, el texto de Tristan Needham, quien sigue el estilo geométrico de su asesor, Roger Penrose, “Visual Complex Analysis”, que cubre el material completo del temario y mucho más, de hecho, puede servir como pretexto para mejorar la comprensión de otros temas de geometría, como pueden ser la geometría de inversión, la parte de polos y polares en geometría, o las geometrías no euclidianas, dicho texto también ofrece bastantes ejemplos más de temas usuales de álgebra lineal, y hasta de conceptos en mecánica clásica, en electromagnetismo y en dinámica de fluidos. Acompañado de sus características imágenes que motivan e ilustran los conceptos más importantes.
Este texto también es útil para conectar con temas de otros cursos de las carreras de matemáticas y de física. En resúmen sería muy formativo, no solo en la materia en cuestión, sino en su formación académica, que conozcan este texto llevando el curso.

No pondremos prerequisitos de asignaturas previas, en lugar de ello mencionaremos geométricamente las ideas que necesitemos de asignaturas previas. Dudas de cursos previos serán bienvenidas, incluso algunas de ellas, con los números complejos ya en las manos, podrán ser reinterpreetadas y apreciadas en una nueva perspectiva. El requisito que pedimos a quienes llevarán el curso es: muchas ganas de aprender, de reflexionar el material de clase, leer la bibliografía y realizar exploraciones trabajando sus tareas; éstos aspectos integrarán su calificación.

TEMARIO.

Son cuatro, los grandes temas

  1. Preliminares y Analiticidad
  2. Integración (de funciones de variable compleja)
  3. Series.
  4. Teorema del Residuo y Aplicaciones.

que se van a estudiar, siguiendo el temario oficial (https://archive.fciencias.unam.mx/asignaturas/840.pdf) con varios subtemas cada uno de ellos.

BIBLIOGRAFÍA.

Les comentamos que un texto central es el de Needham:

[1] Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.

No limitándonos a dicho texto, hay otros que utilizaremos como fuentes de estudio complementarias, de consulta, o alternativas, entre las cuales enlistamos:

[2] Roger Penrose, Camino a la Realidad, Editorial Debate, 2006.

[3] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis: An Introduction to the theory of Analytic Functions of One Complex Variable, 3era edición, McGraw-Hill, 1979.

[4] Wegert, Visual Complex Functions, Birkhauser, 2012.

[5] John Conway, Functions of One Complex Variable, 2da edición, Springer, 1995.

[6] Churchill, Complex Variables and Applications, New York, McGraw-Hill, 1996.

[7] Marsden, Análisis Básico de Variable Compleja, México, Trillas, 1996.

[8] Elias Stein & Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis No. 2, New Jersey, Princeton University Press, 2003.

[9] Steven Krantz, Complex Variables: A Physical Approach with Applications, CRC Press, 2019.

[10] Titu Andreescu, Complex Numbers from A to Z, New York, Birkhauser, 2014.

Las siguientes imágenes son ilustrativas de algunos aspectos que se cubrirán en el curso

1.- La identidad de Euler vista en un círculo unitario en el plano Complejo

La Identidad de Euler vista en un círculo unitario

2.-La identidad de Euler vista como resultado del desarrollo en Serie de Taylor de la Exponencial Compleja

3.- En la siguiente imagen del Needham se ilustra el un procedimiento de Integración Compleja, sobre contornos de diversos tipos.

4- La animación siguiente, ilustra la proyección estereográfica de la Esfera de Riemann sobre el Plano Complejo. Ésta es un mapeo conforme de la Superficie de Riemann más fundamental que existe sobre el plano complejo. Se aprecia una curva de transformaciones de Moebius, tanto en el Plano Complejo, como en la Esfera de Riemann. Dichas transformaciones son importantes tanto en variable compleja como en geometría e incluso en física ya que están inmersas en la relatividad especial.




 


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