Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

PRESENTACIÓN

En la segunda mitad del siglo XIX se emprendió una investigación formal sobre los fundamentos del análisis, la cual influyó notablemente en el desarrollo de la topología.

Uno de los problemas principales en los fundamentos del análisis era formalizar la idea de una magnitud que se hace arbitrariamente pequeña. Una manera de abordar esta cuestión es mediante el concepto de punto de acumulación y en particular mediante el de convergencia, nociones que se pueden derivar con el orden de los números reales.

En los espacio euclidianos n – dimensionales (n > 1), los conceptos de punto de acumulación y de convergencia se consiguen mediante una métrica. En su tesis de 1906, el matemático Fréchet definió una clase de objetos consistentes en conjuntos dotados de una distancia (ahora los llamamos espacios métricos, aunque Fréchet siempre los llamó "Espacios distanciados”).

Lo que Fréchet procuraba en 1906 era dotar a un conjunto abstracto de algún “orden” o criterio de “posición relativa” entre sus elementos que permitiera distinguir un conjunto de otro. En el desarrollo de su trabajo, en esta época, Fréchet tuvo como ideal la teoría de grupos, ya que él mismo buscaba una teoría de espacios abstractos de una base simple, sólida y de consecuencias tan grandes como las de la teoría de grupos.

El matemático Félix Hausdorff dio un paso enorme en este sentido, pues desarrolló la teoría de los espacios topológicos utilizando una idea de Hilbert, quien propuso dar una descripción axiomática del plano a través de vecindades.

Sin embargo, quizá no haya otra contribución tan importante al desarrollo del análisis y la topología, que el titánico trabajo de Cantor en teoría de conjuntos, que dio una apariencia totalmente nueva tanto al análisis como a la topología. Desde entonces se considera que un espacio es un conjunto de puntos con ciertas propiedades que caracterizan a este conjunto como un espacio.

Fuente: Lecturas básicas en Topología General. Editores: L.M. Villegas, A. Sestier, J. Olivares.

Bienvenid@s

En líneas generales, este curso pretende abordar el siguiente temario:

1. Nociones de Teoría de Conjuntos desde una perspectiva axiomática.

2. Una revisión axiomática del conjunto de los números reales.

3. Axiomas que definen una métrica.

4. Axiomas que definen una norma.

5. Axiomas que definen una topología.

6. Sucesiones de funciones.

7. Teorema de Stone – Weierstrass.

8. Teorema de Arzela – Ascoli.

9. Equicontinuidad.

Para ver más detalles de los temas, pueden descargar el temario oficial en la siguiente liga:

https://pagina.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/9.pdf

El curso será en línea y utilizaremos Zoom. Todas las clases serán grabadas y habrá notas de cada sesión. No será obligatoria la asistencia, pero hacemos la atenta invitación para que los alumnos se animen a participar y así se enriquezca el curso con sus ideas.

Habrá un canal de YouTube y un grupo de telegram, exclusivos del curso. Para quienes así lo soliciten, habrá sesiones cuya finalidad será resolver dudas particulares y concretas, ya sea en videollamada o de manera personal (en Ciencias).

La forma de evaluación será a través de “Tareas – examen”, con la opción de hacerlas de manera individual o por equipo, una por semana o cada quince días (aproximadamente). Además, existirá la oportunidad de hacer reposiciones y un final de ser necesario.

Aprovechando que el curso será en línea, integraremos GeoGebra, Python y Julia como apoyo visual y en la generación de conjeturas para algunos conceptos y resultados del análisis (no es necesario que el alumno conozca previamente estos recursos).

Los interesados podrán acceder al Classroom del curso, el cual contiene una carpeta con algunos de los libros que utilizaremos. El código es el siguiente:

El día lunes 15 de agosto será la presentación del curso mediante una videollamada de Zoom en el horario asignado (18 horas). El objetivo de esta reunión es conocernos y conversar a detalle sus posibles dudas sobre el curso y la forma de evaluación. El enlace de la reunión se encontrará disponible en esta presentación 10 minutos antes del horario (también en el classroom).

Comentarios, dudas y sugerencias: LenuamSiul@ciencias.unam.mx

Saludos !! :)