Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

ANÁLISIS MATEMÁTICO I.

Temario.

I. TOPOLOGÍA EN ESPACIOS MÉTRICOS.

II. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS.

III. CONTINUIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS.

IV. DIFERENCIACIÓN E INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES (optativo).

V. SUCESIONES DE FUNCIONES.

La sección IV depende del ritmo que llevamos en el curso y si nos da tiempo.

Evaluación.

I. TOPOLOGÍA EN ESPACIOS MÉTRICOS examen en el salón de clases.

II. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS pequeños exámenes-tarea individual uno de sucesiones y otro de series.

III. CONTINUIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS examen en el salón de clases.

IV. DIFERENCIACIÓN E INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES (optativo) examen-tarea individual.

V. SUCESIONES DE FUNCIONES examen-tarea en equipo.

- Antes de cada examen en el salón se les hace llegar una tarea no obligatoria que si los alumnos la entregan antes de cada examen les puede ayudar a subir su calificación final.

- El alumno puede reponer hasta uno de exámenes parciales.

- Su calificación es el promedio de todas las evaluaciones.

Esto es en términos generales, no está absolutamente definido pues hay cosas que podemos acordar todos juntos.

¡Se va poner sabrosa la onda!

TEMARIO.

I. TOPOLOGÍA EN ESPACIOS MÉTRICOS.

1. Conjuntos ordenados y Campos. El Campo de los números reales.

2. Propiedad Arquimediana de los reales. Cortaduras de Dedekin. Cardinalidad de conjuntos (tranqui ¡no es un curso de teoría de conjuntos!).

3. Espacios métricos, espacios normados.

4. Topología en espacios métricos. Conjuntos compactos, conjuntos perfectos y conjuntos conexos. Espacios separables. Teorema de Lindelöf.

II. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS.

1. Sucesiones convergentes. Subsucesiones. Sucesiones de Cauchy. Límite superior y l{imite inferior.

2. Espacios completos. Teorema pa hacer completo un espacio métrico.

3. Series de términos no negativos. El número e. Criterio de la razón y criterio de la raíz. Series de potencias. Convergencia absoluta. Suma y multiplicación de series. Reordenamientos

III. CONTINUIDAD.

1. Límite de una función. Funciones continuas.

2. Continuidad y compactos.

3. Continuidad y conexos.

4. Discontinuidades.

5. Límites infinitos y límites al infinito.

6. Teoremas de punto fijo.

IV. DIFERENCIACIÓN E INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES (optativo).

1. La derivada de una función real. Teoremas del valor medio.

2. Continuidad de las derivadas. Regla de L'Hôpital .

3. Definición y existencia de la integral de Riemann-Stieltjes. Propiedades de la integral. Integración y diferenciación.

V. SUCESIONES DE FUNCIONES.

1. De qué se trata la sección del curso.

2. Convergencia uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e integración. Convergencia uniforme y diferenciación.

3. Familias de funciones equicontinuas.

4. Teorema de Stone-Weierstrass.

Tenemos un Classroom que pueden revisar aquí.

https://classroom.google.com/c/NTc4OTM5MzA4MDBa?cjc=zhkyohp

BIBLIOGRAFÍA

Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996.

Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964.

Bazán, Luis. Análisis Matemático notas. México CARM 2020: Es el Rudin traducido y con otros materiales (no es una obra original).

Clapp, Mónica. Introducción al Análisis Real, Notas Instituto de Matemáticas, 2010.

Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional.

Moscú: Editorial MIR, 1972.

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3ra ed.). México: McGraw–Hill, 1980.

Bibliografía complementaria:

Brézis, H., Funtional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. New York, Springer, 2011.

Dieudonné, J., Fundamentos de Análisis Moderno. México: Editorial Reverté, 1976.

Royden, H. L., Real Analysis. New York: Macmillan, 1988.