Matemáticas (plan 1983) 2023-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

Bienvenidos a este curso de Cálculo Diferencial e Integral III

La intención principal de este curso es estudiar y comprender la diferenciabilidad de funciones de varias variables y su aplicación.

La dinámica del curso será la usual y la comentaremos el primer día de clases de manera más detallada (en particular, yo daré clases los lunes, miércoles y viernes). También ese día podrán plantear sus dudas con respecto al mismo. Algunos sábados los podremos utilizar para hacer talleres.

Abriremos 2 sesiones de asesoría extras (para quienes quieran asistir a ellas) fuera del horario de clases antes de cada examen parcial para que puedan plantear ahí sus dudas sobre lo visto en clase, o ejercicios de las tareas. Desde luego, también podrán hacerlo en las ayudantías.

Elementos para la evaluación del curso:

1. Se aplicarán de 5 a 6 exámenes parciales durante el curso:
   1. Dos exámenes serán Tarea-Examen en equipo y para cada una de ellas tendrán, al menos, un día para entregarla.
   2. El resto de los exámenes serán a la hora de clase y tendrán un tiempo razonable para contestarlo y entregarlo (dentro del horario de clases).

2. Los exámenes representarán el 100 % de la calificación final del curso.

3. Habrá reposiciones de todos los exámenes que se apliquen durante el curso (incluyendo las Tareas-exámenes). Las reposiciones serán al final del semestre y en dos días o tres, dependiendo de los tiempos. Podrán presentar todas las reposiciones, si así lo desean.

4. El promedio de las calificaciones de los exámenes se hará tomando en cuenta la máxima calificación entre el examen parcial y la correspondiente reposición.

5. Se dejarán Tareas, una por cada examen. Las tareas tendrán carácter de opcional, es decir, no será obligatorio entregarlas.

Podrán entregar las tareas en equipos o de manera individual.

Se contarán como una bonificación a su calificación final para quienes las entreguen. La bonificación será proporcional a su promedio de calificación de ellas y para calcular el promedio se tomarán en cuenta todas las tareas que se dejen durante el curso. La bonificación máxima será de 1.5 puntos a su promedio final de exámenes parciales.

Para tener derecho a la bonificación, deberán tener promedio aprobatorio de ellas y, al menos, 5 de calificación en cada una de las mismas.

Cada tarea se entregará a los estudiantes en dos partes antes de cada parcial.

6. Consideraremos alguna actividad (trabajo) adicional para que puedan mejorar su calificación final (por ejemplo, la exposición de la resolución de un problema que dejemos, o participaciones en clase). Lo comentaremos en el primer día de clases.

7. El examen final consistirá en presentar todas las reposiciones.

Escala de calificación final del curso

Rango Calificación

5.5 – 6.5 6

6.6 – 7.5 7

7.6 – 8.5 8

8.6 – 9.5 9

9.6 – 10 10

TEMARIO.

CAPÍTULO I. Espacios Normados.

1. Producto interior.
2. Producto cruz.
3. Normas en Rⁿ.

CAPÍTULO II. Algunos conceptos básicos de topología en Rⁿ.

1. Conjuntos abiertos, cerrados, interior, cerradura, y frontera de un conjunto.
2. Conjuntos compactos y Teorema de Heine-Borel.
3. Conjuntos conexos.

CAPÍTULO III. Sucesiones en Rⁿ.

1. Definición y ejemplos de Sucesiones y subsucesiones.
2. Convergencia de una sucesión.
3. Criterios de convergencia de una sucesión.
4. Sucesiones de Cauchy.
5. Un axioma de completez para Rⁿ.

CAPÍTULO IV. Funciones de R a Rⁿ.

1. Definición y ejemplos de funciones.
2. Parametrización y reparametrización de funciones.
3. Límite de una función y criterios de convergencia.
4. Continuidad de una función.
5. Propiedades de funciones continuas.

CAPÍTULO V. Diferenciación de funciones de R a Rⁿ.

1. Derivada de una función.
2. Diferencial de una función.
3. Curvatura, torsión y plano osculante.
4. Fórmula de Frenet.

CAPÍTULO VI. Funciones de Rⁿ a R.

1. Definición y ejemplos de funciones.
2. Límite de una función y criterios de convergencia.
3. Continuidad de una función.
4. Propiedades de funciones continuas.

CAPÍTULO VII. Diferenciación de funciones de Rⁿ a R.

1. Definición de la derivada de una función y ejemplos.
2. Derivadas direccionales.
3. Derivadas parciales y gradiente.
4. Diferenciación de una función.
5. Teorema del valor medio.

CAPÍTULO VIII. Máximos y mínimos de una función.

1. Derivadas de orden superior.
2. Teorema de Taylor.
3. Máximos y mínimos.

Bibliografía.

1. Marsden, J. Cálculo Vectorial. Ed. Pearson.
2. Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 2. Ed Reverté.
3. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis, Vol. 2. Ed. Limusa.
4. Bartle, Robert G. Introducción al análisis matemático. Ed. Limusa.
5. Sagan, Hans. Advanced Calculus.

Bibliografía complementaria.

1. Fulks, W. Cálculo Avanzado. México: Limusa-Wiley, 1970.
2. Swokowski. Cálculo con geometría analítica.