Matemáticas (plan 1983) 2023-1

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Funciones de R en R^N

1. Funciones de R en R^N como curvas en el espacio, límites y derivadas en términos de las componentes.

2. La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.

3. Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.

4. Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria por longitud de

   arco, comparación de parametrizaciones.

5. Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.

6. Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.

7. Fórmula de Frenet y Serret.

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Topología de R^N y funciones de R^N en R^M

1. Conjuntos abiertos, cerrados, frontera.

2. Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine y Borel,

   producto de compactos.

3. Conexidad y conexidad relativa.

4. Definición de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

5. Funciones de R^N en R^M, límites y continuidad.

6. Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.

7. Teorema de Bolzano y Weierstrass.

8. Funciones continuas en compactos.

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Funciones de R^N en R

1. Conjuntos de nivel y gráficas.

2. Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.

3. Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición

   de puntos críticos.

4. Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de las

   parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.

5. Diferenciales de orden k, aproximación por polinomios de Taylor, ejemplos.

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Funciones de R^N en R^M

1. Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad del gradiente a los conjuntos de nivel.

2. Teoremas de la función inversa e implícita con demostraciones, ejemplos. Subvariedades de R^N

3. Teorema del rango (opcional).

4. Definición del operador de divergencia, laplaciano y rotacional.

5. Ejemplos.

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Máximos y mínimos

1. Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y criterios de positividad, aplicación a hessianos para detectar máximos, mínimos y puntos silla, lema de Morse.

2. Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange, ejemplos.