Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología II

Hola a todos, bienvenidos al curso de Topología II. Nosotros somos:

Profesor:
Jorge Marcos Martínez Montejano
jorgemm@ciencias.unam.mx
https://cuaieed-unam.zoom.us/j/2369227615

Ayudante:
Pablo Vázquez Cárdenas
perro.negro@ciencias.unam.mx
https://cuaieed-unam.zoom.us/j/2499448243

El texto que encontraran a continuación es una breve introducción a este espacio. Esperamos que les sirva para decidir si esta materia es la indicada para ustedes. De cualquier forma, los esperamos el día Lunes 14 de Febrero a las 12:00 en el aula digital de Zoom del profesor (la primera liga en el apartado anterior) para poder platicar con ustedes.

I. Introducción.

En el curso de Topología 1 impartido por nosotros en el semestre pasado, se cubrieron los siguientes temas:

1. Conceptos Elementales: Definición de Topología y Ejemplos, Bases, Operadores Topológicos, Funciones Continuas y Homeomorfismos.
2. Espacios nuevos de espacios conocidos: Topología Producto, Topología del Subespacio, Topologa Cociente.
3. Axiomas de Numerabilidad: Peso, Carácter, Densidad, Primera Numerabilidad, Segunda Numerabilidad, Separabilidad.
4. Axiomas de Separación: Las propiedades T0, T1, T2, T3, T3.5, T4, T5, regularidad, regularidad completa, normalidad, normalidad completa y sus relaciones.
5. Compacidad: Definición y Propiedades Básicas.
6. Conexidad: Definición y Propiedades Básicas.

Recordemos que en los temas 1. y 2. nos encargamos de construir los cimientos de la teoría mientras que en las unidades 3., 4., 5., y 6. tratamos con las propiedades topológicas mas conocidas. Aquellos que cursaron con nosotros recordaran que, a diferencia de 3. y 4., en los incisos 5. y 6. no fuimos mas allá de las definiciones y de las propiedades básicas. Es entonces nuestro objetivo en el curso de Topología II profundizar ampliamente en los temas de compacidad y conexidad. Debilitaremos o modificaremos las definiciones de dichas propiedades con el fin de obtener nuevos conceptos que permitan analizar espacios topológicos más complejos. También trataremos localmente con ambas propiedades a fin de poder comprender el comportamiento de un espacio topológico en el ‘’entorno’’ de un punto en especifico. Algunas de estas nuevas herramientas nos permitirán también dar condiciones suficientes para saber cuándo un espacio topológico es metrizable. Si el tiempo lo permite, también hablaremos de las nociones (muy) básicas de la Topología Algebraica.

II. Conocimientos Previos.

Desde luego que es necesario haber completado y entendido (en su mayoría) un curso de Topologia I. Aquellos que no llevaron este curso con nosotros el semestre pasado y que estén interesados en cursar Topologia II, les recomendamos que revisen cuales de los temas listados en la introducción se cubrieron en su curso y cuales no. Una vez que hagan dicha separación, les pedimos que envíen un correo al ayudante con sus deficiencias para evaluar personalmente su situación. Algo que les queremos recordar a todos es que para llevar este curso es altamente recomendable haber cursado Análisis Matemático I que se tengan muy presentes los temas vistos en Álgebra Superior 1 y 2.

III. Evaluación.

La calificación de este curso se determinara con el promedio de 4 o 5 exámenes. Esto significa que el curso será evaluado en su totalidad con exámenes, y que la calificación final será el promedio de las calificaciones de dichas evaluaciones parciales. Les recordamos que todas las calificaciones FINALES inferiores al 6 son reprobatorias, mientras que las calificaciones aprobatorias FINALES se redondean al entero inmediato superior siempre y cuando si tenga 6 décimas o más por encima del entero correspondiente (por ejemplo, 8.6 u 8.56 se tomá como 9, pero 8.54, no). Al final del curso tendrán derecho hasta a 2 reposiciones (sin importar el numero de exámenes que se hayan realizado a lo largo del curso). Desde luego que también tendrán la oportunidad de realizar un examen final cuya calcificación reemplace por completo la evaluación del curso (se puede optar por reposiciones o por examen final, pero no por ambos).

IV. Dinámica de Clase.

El consejo técnico ha determinado que las clases serán impartidas de manera remota durante el primer mes del semestre. Así pues, utilizaremos la plataforma de Zoom en este primer mes y siempre que las clases tengan que ser remotas. Les invitamos a que tengan a la mano tanto las liga de nuestras aulas (las dos ligas al principio de este texto) para que no tengan que estar consultando esta pagina siempre que la requieran. Las clases presenciales serán impartidas siempre y cuando el consejo técnico lo permita.

En cuanto a lo remoto, utilizaremos una tableta para escribir en vivo el contenido que impartiremos. Es decir, utilizaremos la tableta como si fuera un pizarrón digital, todo con el fin de reproducir la dinámica de clase que se tendría en una reunión presencial. También tendremos nuestras cámaras prendidas para que vean nuestro rostro y nuestras manos (no será necesario que ustedes prendan su cámara). Dichas clases serán grabadas para aquellos que no nos puedan acompañar en el momento.

Por lo general, el profesor dará clase los Lunes, Miércoles y Viernes mientras que el ayudante dará clase los Martes y Jueves. Este esquema puede variar semana con semana dependiendo de las necesidades del grupo o de las ocurrencias durante el semestre.

El día del examen será acordado entre los alumnos y el ayudante, pero intentaremos que sean los fines de semana (sábado de preferencia). Esto con el fin de no perder días de clase y de no interrumpir el resto de sus compromisos académicos. En cuyo caso tengamos que realizar un examen de manera remota, dicha evaluación se enviara a alguna hora por la mañana y se pedirá su entrega por la tarde o por la noche. No será necesarios que estén conectados durante el examen.

Contaremos con un grupo en Google Classroom en los que subiremos anuncios, notas de clase, ejercicios, exámenes, videos etc. También será una plataforma abierta para preguntas y comentarios con respecto al curso. Para acceder a él podrán seguir la siguiente liga.

https://classroom.google.com/c/NDY2MzA1NTA0OTk5?cjc=2lmkw5m

Para cada tema tendremos una lista de ejercicios la cual servirá como guía de examen. No es necesario entregarla para su evaluación, sin embargo si ustedes lo consideran pertinente o necesario para su desarrollo y entendimiento, pueden solicitarle al ayudante su revisión.

V. Bibliografía.
Los textos que aparecen acontinuacion son de referencia y apoyo. Para impartir el curso, no seguiremos ningún libro en particular.

1. "Elementos de Topología General" de Fidel Casarrubias y Ángel Tamariz. No. 47 en Aportaciones Matemáticas. SMM-IMATE-UNAM, 2015.

2. "Topology" de James R. Munkres. Segunda Edición, Prentice Hall, 2000.

3. "Topology" de James Dugundji. Segunda Edición, Allyn and Bacon, Series in Advanced Mathematics, 1966.

4. "General Topology" de Stephen Willard. Addison-Wesley Publishing Company.

5. "General Topology" de Ryzard Engelking. Sigma Series in Pure Mathemathcs, Volume 6. Heldermann Verlag, Berlin.


Eso seria todo, agradecemos mucho su interés. Les deseamos mucha suerte en todas sus inscripciones así como un excelente inicio de semestre.