Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles V y VI, Teoría de los Conjuntos I

En muchos cursos de matemáticas se parte de la existencia de ciertos objetos (pares ordenados, funciones, etc.) o ciertas estructuras numéricas (naturales, enteros, etc.). ¿Cómo sabemos que las distintas áreas de las matemáticas no entran en conflicto unas con otras? Es decir, ¿por qué suponer la existencia de un objeto en cálculo no genera una contradicción con suponer la existencia de otro objeto en álgebra? Una forma sencilla de resolver este problema es plantear una base común para todo el conocimiento que tenemos en matemáticas (o al menos una gran parte del mismo). El primero objetivo de este curso es justamente hacer esto, construir gran parte de las matemáticas que conocemos a través del sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel+Elección (ZFE). De esta forma, la consistencia de lo que podemos construir a partir de ZFE se sigue a partir de la consistencia de ZFE.

Por suerte, la construcción de un conjunto relativamente pequeño de objetos será suficiente para justificar la existencia de áreas completas de las matemáticas. La primera parte del curso se centrará en desarrollar la Aritmética de Peano, para lo que necesitamos pares ordenados, relaciones (de orden, de equivalencia, y funciones, principalmente), e introducir conjuntos infinitos. A partir de la Aritmética de Peano será posible estudiar el concepto de homomorfismo, el principio de inducción y sus equivalencias, y el teorema de recursión.

Una vez constuidas las matemáticas clásicas, podemos poner nuestra atención sobre un área que nació con la teoría de conjuntos: el estudio del infinito. Intoduciremos los números ordinales y cardinales, así como su aritmética básica. Esto dará lugar a la presentación de la hipótesis del continuo y la hipótesis generalizada del continuo. Además, con los distintos infinitos resulta importante contar con nociones adecuadas de equipotencia y cardinalidad.

Para cerrar el curso se estudiará el controversial Axioma de Elección, sus distintas equivalencias e implicaciones. ¿Qué perdemos si decidimos no utilizar Elección?

La evaluación será únicamente a través de tareas (aproximadamente 4, una por mes) que se entregarán de forma individual o en equipo. Además, se dejarán varias participaciones para subir puntos en las tareas. Se promediará la calificación obtenida en las tareas sumando las participaciones, incluso si alguna calificación es mayor a 10. Para aprobar el curso basta tener promedio aprobatorio. Las calificaciones aprobatorias se redondearán hacia arriba a partir del .5. Será posible entregar las tareas a mano (escaneadas o con fotos de buena calidad), pero los ayudantes se reservan el derecho de no calificar una tarea si no entienden la letra. Se podrá otorgar hasta un punto extra por presentación a quienes entreguen su tarea en LaTeX.

Toda la comunicación relativa al curso, incluyendo la entrega de tareas, se realizará a través del Google Classroom del curso. Las clases serán síncronas utilizando pizarrón, a través de Zoom, y todas se grabarán en 1080p. Las clases grabadas se subirán al Classoom el mismo día o a más tardar al día siguiente de la clase. En el Classroom también se encontrará información adicional, como la biliografía del curso o el enlace de Zoom.

Para ser incluidos en el Classroom por favor envíen un correo a japo@ciencias.unam.mx desde su cuenta @ciencias para ser admitidos.