Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

PRESENTACIÓN

En el segundo congreso internacional de matemáticos realizado en París, David Hilbert enunció una lista de 23 problemas los cuales marcaron en gran medida la investigación matemática a lo largo del siglo XX.

El cuarto problema en la lista de problemas de Hilbert es uno de los problemas más importantes en geometría. A pesar de los distintos avances en su solución, no es claro si ya ha sido resuelto completamente, pues se considera que fue formulado de forma vaga. En este problema, Hilbert pregunta por la existencia de otras geometrías que sean cercanas a la geometría euclidiana. Cabe hacer notar que Hilbert consideró a la geometría de Lobachevsky (o geometría hiperbólica) y la geometría esférica geometrías cercanas a la euclidiana, pues estas geometrías satisfacen cuatro de los cinco postulados que definen la geometría euclidiana.

En este seminario estudiaremos a las geometrías no euclidianas armónicas como una solución al problema IV de Hilbert. Uno de los objetivos de estudiar las geometrías hiperbólicas armónicas y las geometrías esféricas armónicas, es adentrarnos en la teoría desarrollada en las ultimas tres décadas de sucesiones y funciones trigonométricas hiperbólicas de Fibonacci y Lucas.

Aunque el curso es pensado para estudiantes de la carrera de matemáticas, son bienvenidos estudiantes de otras carreras que estén interesados por la geometría la teoría de números de Fibonacci y sus aplicaciones en otras disciplinas de la ciencia.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

• The "golden" non-Euclidean geometry : Hilbert's fourth problem, "golden" dynamical systems, and the fine-structure constant / Alexey Stakhov, Samuil Aranson; assisted by Scott Olsen, Singapore, World Scientific, 2017.
• The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science / by Alexey Stakhov; assisted by Scott Olsen New Jersey, World Scientific, 2009.
• Fibonacci and Lucas numbers with applications / Thomas Koshy, Second edition, Hoboken, New Jersey : Wiley & Sons, 2018.

TEMARIO

1.-Funciones Hiperbólicas de Fibonacci y Lucas
(1.1) La razón dorada.
(1.2) Identidades algebraicas de la razón dorada.
(1.3) Números de Fibonacci.
(1.4) Números de Lucas.
(1.5) Fórmulas de Binnet.
(1.6) Funciones Hiperbólicas de Fibonacci y Lucas

2.-Funciones Hiperbólicas Recursivas
(2.1) Sucesiones de Lucas.
(2.2) lambda -Números de Fibonacci.
(2.3) Razones Metálicas.
(2.4) Fórmulas de Gazale.
(2.5) lambda-Funciones Hiperbólicas de Fibonacci y Lucas.

3.-Geometrías no Euclidianas Recursivas.
(3.1) El cuarto problema de Hilbert.
(3.2) Geometría Hiperbólica Dorada.
(3.3) Geometría Esférica Dorada.

4.-Temas selectos para exposición.

• El Shofar dorado
• Geometría de Bodnar
• Una definición de número real a partir de los números generalizados de Fibonacci y Lucas
• Matrices doradas
• Introducción a los sistemas dinámicos dorados
• Geodésicas en la geometría hiperbólica dorada
• Geodésicas en la geometría esférica dorada

REQUISITOS

• En algunas partes se ocupará material de cálculo diferencial, álgebra lineal y geometría diferencial 1. Dependiendo del conocimiento previo de los alumnos, cubriremos los temas necesarios a lo largo del curso, para que el curso sea autocontenido.

EVALUACIÓN

• 70% Tareas-Exámenes

  • Estarán formadas por una lista de ejercicios que se entregarán escritas a mano o a computadora o inclusive, algunos de ellos podrán ser seleccionados para exposición frente al grupo. Generalmente, tendrán entre una semana y hasta quince días para entregar los ejercicios resueltos.

• 30% Desarrollo y exposición de un tema

  • Cada alumno seleccionará un tema, el cual desarrollará y presentará en una de las siguientes dos opciones:
  1. Una exposición tipo conferencia, frente al grupo.
  2. Un cartel científico y breve explicación del cartel.

Dinámica del curso:

Habrá sesiones virtuales a través de Zoom para poder grabarlas. Usaremos el sitio de classroom al que pueden ingresar con el código rdq2pit, este nos servira para comunicarnos y tener meet de respaldo. También tendremos un sitio en la plataforma moodle de la facultad de ciencias.

• Las sesiones síncronas serán en un horario de 14:00 a 15:00. Los lunes, miércoles y viernes con el profesor y los martes y jueves con el ayudante. Aunque este punto será consultado con los inscritos en el curso, de acuerdo a sus necesidades y posibilidades.
• Se dejará una lista corta de ejercicios para entregar y se seleccionará un ejercicio para cada uno de los inscritos en el curso lo presente a los compañeros del grupo.
• Cada alumno seleccionará un tema de la unidad 4 del temario (o algún otro que sea de tú interés) para desarrollarlo y presentarlo el último mes del semestre o al finalizar la unidad tres.
• Necesitarás tu correo @ciencias para ingresar tanto a classroom como a moodle.

Primera Sesión 14 de febrero

La primera sesión será el lunes 14 de febrero por la plataforma Zoom, mediante el siguiente enlace:

https://cuaieed-unam.zoom.us/j/89297317766?pwd=SFlCM1dFRW42U2ZrMktqUmd1Z1dQZz09

Meeting ID: 892 9731 7766
Passcode: 082874