Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

BIENEVENIDOS A LAS CLASES PRESENCIALES, LA UNAM RESTABLECE SU BUEN NIVEL ACADÉMICO.

Horario: 12 a 13 horas,

El lunes 14 de febrero nos presentamos y el martes inician las clases.

Las primeras 4 semanas serán en línea y yo expondré los temas, el resto del semestre presencial y los alumnos expondrán los temas a manera de seminario.

Temario: Grupos fuchsianos y geometría hiperbólica.

Importancia: Esta rama está en el centro de la matemática ya que vincula casi todas las áreas de la matemática y algunas de la física: álgebra, geometría, topología, análisis real y complejo, teoría de números, teoría de nudos, relatividad, fractales, dinámica holomorfa, geometría diferencial y algebraica, teselaciones, teoría de cuerdas…. En este sentido su importancia y belleza es enorme. Muchas medallas Fields han sido otorgadas en esta dirección, desde Klein, Riemann y Poincaré, grandes matemáticos han trabajado en esta rama.

Cuando en la matemática un área se vincula con muchas otras, todo cobra más luz y sentido.

Sin embargo, el único requisito es variable compleja I, o llevarla simultáneamente.

El nombre pudo haber sido también: seminario de álgebra, o seminario de análisis ( Se habla de grupos de transformaciones de Moebius, las teselaciones que inducen y muchas cosas más).

El temario en detalle:

1.TRANSFORMACIONES DE MOBIUS. Proyección estereográfica, métrica cordal, transformaciones de Möbius,(PSL(2,C), propiedades, clasificación y geometría, biyecciones meromorfas y conformes de la esfera en la esfera, transformaciones que preservan "discos", PSL(2,R), M($\Delta$), multiplicadores, puntos fijos, clasificación por la traza.

2. EL DISCO HIPERBÓLICO. Densidades, métrica hiperbólica del semiplano y del disco de Poincaré, fórmulas de distancia, geodésicas, círculos, paralelismo, ejemplos. Grupos generados por reflexiones, grupo general de Möbius grupo de todas las isometrías, haces de geodésicas y haz ortogonal, breve introducción a la geometría hiperbólica tridimensional.

2.DISCONTINUIDAD, GRUPOS FUCHSIANOS. Conmutatividad y puntos fijos en PSL(2,C), discontinuidad, conjunto límite y ordinario, propiedades de conjugación e invariabilidad, el grupo clásico modular, subgrupos principales de congruencias, grupos discretos, relación discreto-discontinuo, dominio de discontinuidad para subgrupos discretos de PSL(2,R), grupo abeliano implica cíclico, criterios de discrecionalidad, grupos estabilizadores, grupos fuchsianos y kleinianos, grupos horocíclicos, grupos normales de horocíclicos son horocíclicos, grupos normalizadores, grupos puramente hiperbólicos, teorema de Siegel, Lauritzen. Conjunto límite de un grupo fuchsiano, propiedades: cerrado, perfecto, acumulación de casi todas las órbitas, en ninguna parte denso o toda la recta. Conjunto derivado, grupos elementales y no elementales, otras caracterizaciones del conjunto límite: cerradura de los puntos fijos hiperbólicos o parabólicos.

3.REGIONES FUNDAMENTALES. Conjunto fundamental, región fundamental, ejemplos, área hiperbólica, invariabilidad bajo PSL(2,R), bisector perpendicular = puntos equidistantes, h-convexidad, Construcción del polígono de Dirichlet, prueba de que éste es una región fundamental localmente finita, polígonos de Dirichlet de grupos cíclicos. Polígono de Ford, círculos isométricos, prueba de que el polígono de Ford es una región fundamental, región de Ford-Dirichlet para el grupo modular, otros ejemplos de regiones fundamentales para subgrupos modulares.

Texto: “Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional´´ Segunda edición, Antonio Lascurain Orive, Las Prensas de Ciencias, UNAM, 2017.

El objetivo del curso es cubrir cabalmente este libro.

Bibliografía Complementaria:

J. Lehner“ A Short Course in Automorphic Functions”. Holt, Rinehart and Winston. 1966.

A. Beardon "The Geometry of Discrete Groups" GTM, Springer-Verlag. 1995

B. Maskit " Kleinian Groups", Springer Verlag. 1987.

A. Marden "Outer Circles" Cambridge 2005.

J. Ratcliffe "Foundations of Hyperbolic Manifolds" GTM, Springer Verlag.,1995.

D. Munford, C. Series y D. Wright "Indras Pearl´s, Cambridge University Press, 2002.

La evaluación va consistir en : 20%, tareas semanales, las primeras 4 semanas. 40 % dos exámenes parciales escritos presenciales, a la mitad y al final del curso y 40 % exposiciones presenciales del texto. Se puede reponer uno de las exámenes.

El código de la clase en Classroom es: lsmjwpo

El código de zoom para las clases (martes, miércoles, jueves) es : 2373866945

El código de zoom para las ayudantías (lunes y viernes) es: 9244539115

Estos enlaces se encuentran también en Classroom, en la pestaña de trabajo de clase.

• .Esta bella figura consiste en el conjunto límite de un grupo kleiniano