Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Conjuntos medibles vs. no medibles

En este seminario investigaremos, desde distintos enfoques, cuáles son las características de los conjuntos no medibles que se distinguen de las de los medibles, por poner un ejemplo, cómo la medibilidad de un conjunto se relaciona con “el tamaño”, “la distribución” y de más propiedades topológicas del conjunto en cuestión.

La idea es que en la primera parte del curso, además de repasar la medida de Lebesgue en R y profundizar en este tema, estudiemos ciertas características generales y distintas construcciones de conjuntos no medibles. En la segunda parte del curso abordaremos, según el interés de los estudiantes, temas y preguntas que relacionan este concepto con otras áreas de las matemáticas. Algunos de estos temas se sugieren en la parte V del temario.

Reunión virtual para platicar sobre este curso

Martes 8 de febrero a las 10:30 am. Aquí el enlace de la reunión http://meet.google.com/uwt-sguk-cjd

Horario

Como ven, en principio, el curso es en modalidad virtual en horario de 9 a 10 de la mañana.

Si hay interés por cambiar el horario, podemos platicarlo en la reunión del martes 8 de febrero a las 10:30 am. (también pueden mandarme un correo).

IMPORTANTE: Sí hubo interés por cambiar el horario, la nueva propuesta es que el horario sea de 11 a 12.

Evaluación

Se calificará con una tarea examen y con la participación y exposiciones de los alumnos.

Temario

I. La medida de Lebesgue en R

• El problema de la medida en R

• Medida exterior e interior

• Sigma-Álgebras

• Equivalencia con la caracterización de Caratheodory

II. Conjuntos medibles

• Conjuntos F-sigma y G-delta

• Propiedades de Conjuntos medibles

• Teorema de densidad de Lebesgue

• Conjuntos nulos y de medida positiva

• Conjuntos de Cantor

III. Conjuntos no medibles

• Conjuntos de Vitlai

• Conjuntos de Bernstein

• Conjuntos de Sierpinski

• Conjuntos de Sardella-Zillioti

IV. Un poco de Categorías de Baire

• Conjuntos densos en ninguna parte

• Conjuntos de primera y segunda categoría

• La propiedad de Baire

V. Temas opcionales

• Analogías entre medida y categoría

• Relaciones entre condiciones de medibilidad e inscripción de polígonos en el plano.

• Medibilidad en el problema del cuadrado inscrito

• Inscripción de polígonos en conjuntos planos

• Particiones de R con condiciones de medida y categoría

• Teorema de Fubini y conjuntos no medibles

• Conjuntos no medibles asociados a filtros

• Números de Liouville

• El juego de Banach-Mazur

Bibliografía:

• Bartle, Robert G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley \& Sons, Nueva York, 1995, 180 pp.

• Halmos, Paul Richard, Measure Theory, Srpinger, Nueva York, 1974, 304 pp.

• Kharazishivili, A.B., Nonmeasurable sets and Functions, Elsevier Science, Amsterdam, 2004, 349 pp.

• Lebesgue, Henri, Intégrale, Longeur, Aire, Annali di Matematica, serie III, tomo VII, 1902, pp. 231-359.

• Oxtoby, John C., Measure and Category: A survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces, Springer, Nueva York, 1971, 124 pp.

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Nueva York-Tokyo, 3a. ed.,1976, 325 pp.