Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Introducción a las álgebras de Banach y C*-álgebras.

En este curso se estudiarán los conceptos y teoremas principales en álgebras de Banach y en C*-álgebras. La idea es estudiar en un contexto general a los espacios que se presentan en el análisis matemático, como lo son espacios de funciones, espacios de sucesiones, espacios de matrices, espacios de operadores lineales, etc... pues la mayoria de ellos no solo tienen la estructura de espacio vectorial, también se les puede dar una operación producto y así ser considerados como un álgebra, esto es las algebras son espacios vectoriales con un producto. Será de nuestro interes estudiar la estructura topologica y algebraica de las algebras, cuya topología esta dada por una norma, estudiaremos los diferentes tipos de álgebras como lo son las álgebras normadas, álgebras de Banach y las C*-álgebras, en este sentido es recomendable que el estudiante tenga conocimientos básicos de topología y algebra, pues conceptos como continuidad, compacidad, convergencia, elemento invertible, ideal, homomorfismo etc... son usados en el desarrollo de los conceptos de esta teoría.

Requisitos:

Análisis Matemático I y II, Topología I, Algebra Moderna II (muy básica) no es necesario saber cosas de Análisis III.

Bienvenidos alumnos de otras carreras.

Forma de trabajo:

Debido a la pandemia por covid-19, la forma de trabajo sera en línea, usaremos la plataforma zoom para dar la clase, yo daré la clase a la hora marcada en el horario, donde discutiremos el contenido del termario en su forma clasica (demostrando y discutiendio proposiciones, lemas, teoremas y ejemplos), sin embargo también subiré videos a mi canal de youtube con contenido similar a las clases para que la gente que no pueda entrar pueda estudiar en el horario que le acomode, puedes seguir esta liga para ver algunos videos del curso ya subidos (ojo no esta completa le faltan los temas del principio)

https://youtube.com/playlist?list=PLj9ww_YXE9UsG8x2YZN0VOYqck-0VmFa

GENTE INTERESADA EN INSCRIBIRSE AL CURSO: mandarme correo a pavelrm@yahoo.com.mx con el asunto "seminario de analisis" para darle el enlace al grupo de whats y el enlace al classroom.

Temario

1. Espacios vectoriales topológicos.

1.1 Definición y propiedades de espacios vectoriales topológicos.

1.2 Espacios localmente convexos.

1.3 Transformaciones lineales entre espacios localmente convexos.

1.4 Algebras localmente convexas.

2. Álgebras de Banach.

2.1 Definiciones propiedades y ejemplos.

2.2 El teorema de Gelfand-Mazur.

2.3 El espectro de un elemento y sus propiedades.

2.4 El radio espectral y la formula del radio espectral.

3. Álgebras de Banach conmutativas.

3.1 Funcionales lineales multiplicativos.

3.2 El espacio de ideales maximales.

3.3 Algebras semisimples.

3.4 Divisores topológicos de cero.

4. C*-álgebras.

4.1 Definiciones, propiedades y ejemplos.

4.2 La igualdad C*.

4.3 El teorema de Gelfand-Naimark.

4.3 Representaciones de C*-álgebras.

Bibliografía

Rickart, Charles Earl, General theory of Banach algebras, Van Nostrand, 1960

Rudin, Functional Analysis, McGraw Hill, New York, 1991.

W. Zelazko, Banach Algebras, Elsevier Publishing Company, 1973.

Evaluación:

Tareas examen y exposiciónes de algunos temas y ejercicios de las cosas vistas en clase. Fundamentalmente, la idea es fomentar la discusión de los temas y ejercicios, además se tomará en cuenta la dispoción del alumno para participar en clase (muy importante)