Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Curso en línea, en tiempo real, por la plataforma Google Meet.

La liga para acceder a la clase y para unirse al grupo en Google Classroom les llegará por correo electrónico a quienes estén inscritos.

Inicio: Lunes 14 de febrero a las 10:00 horas.

Horario:

• Teoría (Mónica Clapp): lunes, martes y miércoles de 10 a 11 horas.

• Ejercicios (Nadia Esquivel): jueves y viernes de 10 a 11 horas.

Prerrequisitos: Análisis Matemático I y II, incluyendo la integral de Lebesgue en R^N.

Descripción del curso:

Muchos fenómenos de la física, la ingeniería, la biología, la medicina, las finanzas, y de las matemáticas mismas, se describen mediante una ecuación diferencial no lineal. Una clase particular muy importante son las ecuaciones de Euler-Lagrange, cuyas soluciones satisfacen un criterio de optimalidad dado en general por una integral que representa alguna energía, una acción, una función de costo, etc. Dicho en términos matemáticos, las soluciones son puntos críticos de un funcional definido en un espacio de funciones. A los problemas modelados por este tipo de ecuaciones se les llama problemas variacionales.

El primer paso para abordar un problema de este tipo consiste en investigar si tiene al menos una solución. Éste no es un asunto sencillo. Ecuaciones que a primera vista parecen semejantes pueden tener comportamientos muy distintos, y pequeñas modificaciones en el término no lineal o en el dominio pueden dar lugar a que el problema variacional no tenga ninguna solución, o bien a que tenga una infinidad de ellas. Interesa pues obtener información acerca de la existencia de soluciones, así como dar, en la medida de lo posible, una descripción cualitativa de éstas. En este curso abordaremos estas cuestiones.

Temario:

1. Espacios de Sobolev, variedades de Hilbert, convergencia débil.

2. Problemas elípticos semilineales con condición de frontera. Formulación variacional. Existencia de soluciones.

3. Teoría de Lusternik-Schnirelmann. Multiplicidad de soluciones.

4. Problemas elípticos en dominios no acotados. Invariancia bajo traslaciones. Compacidad por concentración.

5. Problemas elípticos de exponente crítico. Invariancia bajo dilataciones. Compacidad por concentración.

Bibliografía:

1. A. Ambrosetti, A. Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems, Cambridge University Press, New York 2007.

2. H. Brezis, Análisis funcional, Alianza Editorial, Madrid 1984.

3. M. Clapp, Análisis Matemático, Colección Papirhos, Serie Textos 2, Instituto de Matemáticas de la UNAM, México 2018.

4. M. Clapp, Métodos variacionales en ecuaciones diferenciales parciales, notas de curso.

5. D.G. Costa, An invitation to Variational Methods in Differential Equations, Birkhäuser, Boston 2007.

6. S. Hildebrandt, A. Tromba, The parsimonious universe. Shape and form in the natural world. Copernicus, New York 1996.

7. J. Jost, X. Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge University Press, New York 1998.

8. M. Struwe, Variational methods, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1996.

9. M. Willem, Minimax theorems, PNLDE 24, Birkhäuser 1996.

Evaluación: La evaluación se basará en tareas y exposiciones en clase.