Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Lógica Matemática III

Lógica matemática III

Temario

0. Una prueba heurística del primer teorema de Gödel

1. Aritmética recursiva

1.1. Las funciones recursivas

1.2. Relaciones y predicados recursivos

1.3. Los operadores m y M acotados y la definición por casos

1.4. Descomposición en factores primos y definición por curso de valores

2. Formalización de la aritmética recursiva

2.1. Definición del concepto de función recursiva primitiva

2.2. Morfología del sistema AR

2.3. Notación y abreviaturas

2.4. Axiomática del sistema AR

2.5. Observaciones y comentarios relativos al sistema

2.6. Reglas derivadas de inferencia y uso de metateoremas

2.7. Teoremas relacionados con la igualdad, el orden, la función sucesor, la suma, el producto, la divisibilidad y la inducción matemática

2.8. Semántica: AR y la aritmética recursiva

3. Aritmetización de la sintaxis de AR

3.1. Correspondencia de Gödel

3.2. Trascripción de la sintaxis de AR a la aritmética recursiva

4. Primer teorema de Gödel

4.1. La w-consistencia

4.2. El enunciado de Gödel

4.3. Primer teorema de Gödel

4.4. Teorema de Gödel-Rosser

4.5. Comentarios

5. Temas adicionales: pruebas de consistencia y el segundo teorema de Gödel

5.1. Predicados de prueba (un bosquejo)

5.2. Lema diagonal

5.3. El teorema de Łob

5.4. Una segunda demostración de los teoremas de Gödel

Texto: Limitaciones internas de la aritmética formalizada, Carlos Torres (PDF)

El texto será entregado a los alumnos al inicio del curso.

Referencias bibliográficas

Delong, Howard, A Profile of Mathematical Logic, Addison-Wesley Publishing Company, 1971

Gödel, Kurt, Collected Works, vol. I: publications 1929-1936, Oxford University Press, Nueva York y Oxford, 1986

- “On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I”, en (Gödel 1986, pp. 145-195).

Kleene, S. C., Introduction to Metamathematics, Van Nostrand, 1952

-Mathematical Logic, John Wiley & Sons, Inc., 1967

Mendelson, Elliot, Introduction to Mathematical Logic, CRC Press, 2015