Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Introducción a la Geometría Avanzada

Sala de Zoom

Liga de Zoom con el Profesor: https://cuaieed-unam.zoom.us/j/88602179392

Liga de Zoom con el Ayudante: https://cuaed-unam.zoom.us/j/84055985682?pwd=cDhrdytHNlB1SlpKTG84aDgwcXBBQT09

El ayudante dará Lunes y Jueves, y el profesor dará Martes, Miércoles y Viernes.

Las clases se grabarán y se pondran en una liga de drive siempre y cuando todos los presentes estén de acuerdo. Las notas se pondrán en un pdf que también se pondrá en una liga de drive.

Clave para autoagregarse al Google Classroom: https://classroom.google.com/c/NDY5OTM0ODgyMjU4?cjc=l2echya

Liga de Drive para Clases grabadas (En caso de que todos estén de acuerdo) y material para la clase: https://drive.google.com/drive/folders/1t8ew3nkRxTBatqAzpwdN7LLWUPdYjXqK?usp=sharing

Requisitos

Geometría Analítica II

Objetivo

Lograr que el estudiante de los primeros semestres conozca la gama de posibilidades desarrolladas en Geometría después del surgimiento del Cálculo y el Álgebra Moderna, utilizando modelos, grupos de transformaciones y el concepto de espacio cociente. También veremos en este curso la parte de la geometría hiperbólica que forma parte del lenguaje usado en Física para la teoría de la relatividad.

Temario

Parte de los objetivos de este curso es entender la parte de geometría hiperbólica que tiene que ver con el lenguaje de la teoría de relatividad que es importante para físicos.

Empezaremos con un repaso de algunos temas de Geometría Analítica II: Isometrías del plano: Traslaciones, reflexiones, rotaciones, pasos; representación de una isometría como una matriz ortonormal; isometrías del espacio que dejan fijo al origen(i.e. isometrías de la esfera); para terminar el repaso, y como aplicación de las propiedades del producto cruz, veremos la ley de cosenos en geometría esférica.

Después veremos que toda isometría del plano se puede ver como un producto de una reflexión, de dos reflexiones (traslaciones y rotaciones) o de tres reflexiones (pasos); y veremos el problema análogo para isometrías de la esfera.

Como una aplicación de lo anterior, hablaremos de los grupos dihédricos del plano, y hablaremos de teselaciones periódicas del plano (Frieze y Wallpaper) y, en general, de teselaciones del plano; si da tiempo hablaremos de teselaciones del plano que nacen de sustituciones (mi área de investigación).También veremos el maravilloso teorema de Leonardo (Sí, el de la Mona Lisa).

Después veremos transformaciones afines; en particular probaremos que toda biyección del plano que manda rectas en rectas tiene que ser una transformación afin.

Para nosotros, las transformaciones proyectivas serán ciertas matrices de 3x3 con entradas reales (módulo una relación de equivalencia). Como aplicaciones de nuestro trabajo, veremos cómo se puede transformar una foto tomada de un celular “chueca” a una hoja carta, mandando sus esquinas a las esquinas de una hoja carta; esto es útil para las aplicaciones que escanean desde un celular. También veremos la relación entre las trasnformaciones proyectivas y el que la composición de transformaciones de Möbius se comporte como multiplicación de matrices.

Veremos los teoremas clásicos de Geometría Proyectiva: Desargues, Pascal y Papus, y veremos que al plano proyectivo se le puede poner una métrica (Geometría Elíptica)

Parte de la razón por la que vemos geometría proyectiva es porque uno de los modelos de la geometría hiperbólica vive adentro del plano proyectivo.

Finalmente mencionaremos, para geometría hiperbólica, al modelo del hiperboloide, al modelo proyectivo, al modelo del semiplano superior, y al modelo del círculo de Poincaré. Veremos la parte de Geometría Hiperbólica que se usa en Física, y de la que deriva muchos de sus nombres.

Veremos las leyes de cosenos en geometría hiperbólica, y si nos da tiempo, hablaremos de Superficies Hiperbólicas y de Teselaciones en el plano hiperbólico.

Por supuesto, terminaremos el temario oficial:

https://pagina.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/272.pdf

Modo de Calificar

Se harán 3 exámenes a lo largo del curso. Los exámenes son 70% de la calificación, y las tareas serán el 30%.

Bibliografía:

• Ryan, Patrick J. Euclidean and Non-Euclidean Geometry: An Analytic Approach, Cambridge Univesity Press, 1986

• Burn, R. P., Groups, A Path to Geometry, Cambridge University Press, 1987

• Stillwell, J. Geometry of Surfaces, Springer Verlag, 1995

• Ramírez Galarza, Ana Irene, Seade Kuri, José, Introducción a la Geometría Avanzada, Las prensas de Ciencias, UNAM, 2005

• Ramírez Galarza, Ana Irene, Sienra, Guillermo, Invitación a las Geometyrías No-euclidianas, Las prensas de Ciencias, UNAM, 2000