Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

El grupo será en modalidad virtual

PRESENTACIÓN DEL CURSO DE GEOMETRÍA RIEMANNIANA

En este curso estudiaremos variedades Riemannianas y su geometría y cubriremos los primeros 2 puntos del temario oficial. A saber,

1. Variedades Riemannianas

1.1 Variedades diferenciables. Definiciones básicas. Orientabilidad

1.2 Transformaciones entre variedades. Inmersiones, encajes, submersiones

1.3 Campos vectoriales. Corchete

1.4 Métricas Riemannianas

1.5 Conexiones afines. Existencia y unicidad de una conexión de Levi-Civita

2. Geodésicas y curvatura

2.1 Definición. Ecuaciones diferenciales de las geodésicas. Flujo geodésico

2.2 Aplicación exponencial

2.3 Propiedad minimizante de las geodésicas

2.4 Vecindades normales

2.5 Tensor de curvatura. Curvatura seccional, de Ricci y escalar

Si las condiciones lo permiten veremos también

3. Subvariedades Riemannianas

3.1 Conexión inducida. Segunda forma fundamental.

3.2 Subvariedades totalmente geodésicas y totalmente umbílicas.

(https://www.fciencias.unam.mx/estudiar-en-ciencias/estudios/licenciaturas/asignaturas/217/252)

Trabajaremos con sesiones en línea (zoom) y tareas-examen, de forma que se complemente el trabajo en línea con el trabajo individual del estudiante para que se pueda cubrir el temario propuesto. Usaremos un grupo de Classroom, al que tendrán que entrar con su correo @ciencias.unam.mx. El código de acceso al classroom es sfbq3ar.

El grupo será en modalidad virtual.

Si al iniciar aún no se permiten sesiones presenciales, trabajaremos con 2 sesiones de 50 minutos por semana lunes y miércoles en el horario registrado en la página de la facultad, donde se presentará el contenido del curso en exposiciones en tiempo real y apoyándonos con imágenes en pdf. Estas presentaciones permanecerán en el Classroom del curso. Incluiremos dos sesiones semanales para comentar ejercicios, éstas serán diseñadas en función del número de estudiantes y su participación en el curso.

Se entregará una tarea-examen por cada tema. La evaluación del curso será con la calificación de las tareas-examen.

El libro de texto en el que se basará el curso es “Riemannian Geometry” de Manfredo P. Do Carmo.

Referencias:

- M. P. Do Carmo, “Riemannian Geometry”, Birkhauser, 1992

- J. M. Lee “Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature,” Springer, 1991

- J. M. Lee “Introduction to Smooth Manifolds,” Springer, 2013