Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Geometría Diferencial I

Horario: lunes a viernes, de 15:00 a 16:00.

Dinámica del curso. Las clases teóricas serán los lunes, miércoles y viernes; y las ayudantías, martes y jueves. Mientras estemos en modalidad virtual, las clases se impartirán a través de Google meet. Nos apoyaremos con la plataforma classroom para comentarios y el envío de tareas-examen.

Evaluación. Cada dos semanas se dejará una tarea; y por cada dos tareas se aplicará un examen, el cual será sobre los temas relativos a las dos tareas previas. Las tareas contarán un 30% y los exámenes un 70% de la calificación final. Al final del curso podrán hacer la reposición de un examen siempre que hayan presentado el 80% de los exámenes. La calificación obtenida de la reposición será la que sustituirá a la calificación anterior. Quienes decidan no hacer reposición de ningún examen, podrán presentar el examen final simepre que hayan entregado más del 80% de las tareas y exámenes. La calificación obtenida en el examen final sustituirá a la calificación obtenida de promediar las tareas y exámenes.

La primera sesión será el 14 de febrero. El link para conectarse se enviará a los correos de los alumnos inscritos.

Programa. Se estudiarán los temas

I. Curvas diferenciables en R^2 y R^3

- Curvatura y torsión

- Teorema de la teoría local de curvas

II. Superficies regulares en el espacio Euclidiano

- Ejemplos de superficies regulares: gráfica de una función diferenciable, imagen inversa de un valor regular.

- Funciones diferenciables sobre una superficie

- Aplicaciones diferenciables entre superficies

- Teorema de la función inversa

- Plano tangente a una superficie en un punto

- Primera forma fundamental de una superficie

- Vectores tangentes a una superficie

- Orientación

- Aplicación de Gauss

- Segunda forma fundamental de una superficie

- Direcciones principales y direcciones asintóticas

- Curvatura Gaussiana

- Geodésicas

- Invariancia de las geodésicas bajo isometrías

- Fórmulas de Mainardi-Codazzi

- Teorema fundamental de la teoría local de superficies

Bibliografía:

- Do Carmo M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces in R^3, New Jersey: Prentice Hall, 1976.

- Struik D. J., Lectures on Classical Differential Geometry: Second Edition, Dover Publications, 1988.

- Hilbert D., Cohn Vossen S., Geometry and the Imagination, AMS Chelsea Publishing, 1999.

- Pogorelov A.V., Geometría Diferencial, Moscú: MIR, 1977.

- Spivak. M. A., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Texas: Publish or Perish, 1999