Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales II

Presentación: En general, es muy difícil (o imposible) encontrar soluciones explícitas para ecuaciones diferenciales parciales (EDP). En casos particulares se pueden aproximar numéricamente las soluciones, pero esto sólo permite un análisis muy limitado de la ecuación y sus propiedades. Afortunadamente, en los últimos años se han desarrollado (¡y siguen desarrollándose!) técnicas potentes y flexibles que nos permiten estudiar EDPs de forma analítica y rigurosa, y en este curso veremos una introducción a algunas de ellas.

Principalmente usaremos análisis funcional, el cual extiende los conceptos de geometría y análisis real a espacios de funciones de dimensión infinita. Esta teoría tiene diversas aplicaciones (en economía, finanzas, teoría de probabilidad y procesos estocásticos, mecánica cuántica, problemas inversos) y el objetivo principal del curso es desarrollar las herramientas necesarias para poder entender a las ecuaciones elípticas (que son un amplio grupo de ecuaciones que modelan fenómenos en equilibrio) desde una perspectiva de análisis funcional. Esto nos permitirá desarrollar nociones más generales de soluciones de EDP, resolver ecuaciones en dominios arbitrarios y estudiar propiedades cualitativas como positividad, simetría, cotas a priori, regularidad, etc.

El análisis funcional es el lenguaje moderno para el análisis de EDPs y cualquier científico interesado en trabajar con ecuaciones diferenciales parciales se beneficiará de conocerlo a mayor profundidad.

Dinámica del curso: Usaremos la plataforma de Google Classroom (GC) para administrar el material del curso (videos, notas, tareas, exámenes). De lunes a viernes habrán sesiones via Zoom (lunes, miércoles y viernes con el profesor y martes y jueves con el ayudante). Las clases se grabarán y se subirán a la plataforma de GC. Todo el material visto en las clases quedará registrado en notas del curso subidas al GC.

La evaluación se basará principalmente en tareas.

Los alumnos interesados en tomar la materia como oyentes son bienvenidos. Si tienen cualquier duda sobre el curso, ¡escríbanme a mi correo!

La liga de Zoom para la primera clase que tendrá lugar el 14 de febrero ya está disponible en el GC.

Requisitos: Se recomienda haber cursado Anáilsis 1. El curso de ecuaciones diferenciales parciales 1 NO es un requisito, ya que en este curso se desarrollan otros métodos que son independientes de los vistos en EDP1; sin embargo, haber cursado EDP 1 sí ayudará a poner en contexto y en perspectiva algunos resultados que se verán en EDP 2. Es altamente recomendable que el alumno esté familiarizado con latex, para la elaboración de tareas y presentaciones (beamer).

Temario

1. Análisis funcional

1.1. Espacios de Banach

Métricas y normas, operadores lineales acotados, el álgebra de los operadores acotados, espacios duales, proyecciones

1.2. Espacios de Hilbert

Productos escalares, ortogonalidad y proyecciones simétricas, sistemas ortonormales, operadores adjuntos

1.3. Dos principios fundamentales

El teorema de la gráfica cerrada, el principio de acotación uniforme

1.4. Operadores compactos

Conjuntos compactos, caracterización de operadores compactos, operadores compactos en espacios de Hilbert, la teoría de Riesz-Fredholm, el espectro de operadores compactos

2. Espacios de funciones

2.1. Funciones continuas y diferenciables

Notación y repaso de diferenciabilidad, espacios de funciones diferenciables, espacios de Hölder, regularización

2.2. Espacios de Sobolev

Derivadas débiles, propiedades básicas de espacios de Sobolev, encajes, el teorema de Rellich-Kondrachov

3. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas

3.1. Existencia de soluciones

Operadores diferenciales, el teorema de Lax-Milgram, la alternativa de Fredholm para ecuaciones, el espectro de operadores diferenciales

3.2. Propiedades de soluciones

Regularidad, positividad

Bibliografía:

Brézis: Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations

Evans: Partial Differential Equations