Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Introducción: En resumen, el objetivo del curso de ecuaciones diferenciales I fue el de presentar algunas técnicas básicas para encontrar soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales ordinarias. Uno pronto se da cuenta que, el número de ecuaciones las cuales se les puede encontrar una solución analítica es muy pequeño. Entonces aparece la cuestión: ¿qué más se puede hacer con las ecuaciones diferenciales ordinarias cuya solución no se puede encontrar de manera analítica?

En este curso, Ecuaciones diferenciales II, responderemos este tipo de preguntas para algunas clases de ecuaciones diferenciales ordinarias. El enfoque central del curso es el análisis cualitativo, el cual consiste en extraer información acerca de las soluciones a una ecuacion diferencial sin tener una expresión analítica para tal solución. Tal información puede incluir cuestiones tales como la existencia, la unicidad y estabilidad de sluciones.

Temario

1.Introducción

1.1. Repaso de conceptos básicos.

1.2. Dinámica unidimensional.

1.3. Modelos en ecuaciones diferenciales ordinarias.

1.4. Ideas generales en dinámica bidimensional.

2. Sistemas lineales

2.1. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

2.2. Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes.

2.3. Sistemas lineales con coeficientes periódicos y teoría de Floquet.

2.4. Teoría de estabilidad para sistemas lineales.

2.5. Existencia y unicidad de soluciones para sistemas lineales

3. Existencia y unicidad

3.1. Repaso de nociones topológicas.

3.2. Revisión de elementos de análisis funcional.

3.3. Teorema de existencia y unicidad.

3.4. Dependencia sobre condiciones iniciales y parámetros

3.5. Intervalo máximo de existencia.

4. Sistemas dinámicos y el plano fase.

4.1. Deefiniciones básicas.

4.2. Linealización y teorema de Hartman-Grobman.

4.3. Funciones de Liapunov.

4.4. Conjuntos alpha- y omega-límite y el teorema de Poincaré-Bendixon.

4.5. Existencia y estabilidad de órbitas periódicas.

4.6. Puntos de equilibrio no hiperbólicos y sistemas Hamiltonianos.

4.7. Indice de Poincaré.

4.8. Comportamiento en infinito y la esfera de Poincaré.

Bibliografía

• Barreira L. and C. Valls, Ordinary Differential Equations: Qualitative Theory, AMS, 2012.
• Hirsch, M.W. Smale, S. and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems and an Introductión to Chaos, Elsevier, 2003.
• Meiss, J. D. Differential Dynamical Systems, SIAM, 2007.
• Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems, Springer Verlag, 2000.

Forma de trabajo: se darán clases teóricas a través de zoom los lunes, miércoles y viernes, y ayudantias los martes y jueves. Y los archivos del curso se dejaran el Clasroom:

Evaluación: La evaluación básicamente se compone de: tareas semanales individuales las cuales cuentan el 50% y 3 exámenes parciales individuales que cuentan el 50%.

Cualquier duda pueden escribir a mí correo electrónico: numerico_mejia@hotmail.com

Bienvenidos al curso.