Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

Todo lo relativo a la clase será desde Google Classroom.

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Si no pueden acceder al salón, escríbanme un correo. El código de la clase es fm6zjpm.

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Temario

1. Introducción

   • Modelación
   • Dinámica en una dimensión
   • Ejemplos
   • Dinámica en dos dimensiones
   • Modelo de Lorenz
   • Ecuaciones diferenciales cuadráticas: sistemas caóticos

2. Sistemas lineales

   • Ecuaciones diferenciales matriciales
   • Sistemas bidimensionales lineales
   • Exponencial de un operador
   • Soluciones fundamentales
   • Valores propios y estabilidad lineal
   • Sistemas no autónomos y teoría de Floquet

3. Existencia y unicidad

   • Preliminares topológicas
   • Preliminares de espacios de funciones
   • Teorema de existencia y unicidad
   • Dependencia de condiciones iniciales y parámetros
   • Intervalo máximo de existencia

4. Sistemas dinámicos

   • Flujos
   • Existencia global de soluciones
   • Linealización
   • Estabilidad
   • Funciones de Lyapunov
   • Conjugación y equivalencia topológica
   • Teorema de Hartman-Grobman
   • Conjuntos límite
   • Atractores y repulsores
   • Estabilidad de órbitas periódicas
   • Mapeo de Poincaré

5. Variedades invariantes

   • Conjuntos estable e inestable
   • Órbitas heteroclínicas
   • Variedad estable
   • Teorema de la variedad estable local
   • Variedades estables globales
   • Variedad central

6. El plano fase

   • Equilibrios no hiperbólicos
   • Nodos no hiperbólicos
   • Centros topológicos
   • Simetrías e inversiones
   • Índice y grado
   • Teorema de Poincaré-Bendixon
   • Sistemas de Liénard
   • Comportamiento al infinito: esfera de Poincaré

Relativo a la evaluación, dejaremos tareas y exámenes a casa conforme avance el curso. La calificación final se compondrá de los resultados de estos trabajos.

En cuanto a la bibliografía, el temario oficial contiene buenas referencias. Adicionalmente conviene mencionar el clásico de Coddington y Levinson, los libros de Hubbard y West, y el Wiggins.

Cualquier duda, escríbanme.