Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Conjuntos Convexos

Conjuntos Convexos

Un subconjunto de un espacio vectorial es convexo si el segmento de recta determinado por dos de sus puntos esta contenido en el conjunto, esta definición aunque básica tiene muchas implicaciones geométricas muy interesantes. La convexidad juega un papel importante en diversas áreas de la matemática como lo es el Análisis Matemático, Geometría, Topología, Programación Lineal etc... así pues un estudio de los conjuntos convexos resulta importante en la formación académica de un alumno de Matemáticas. El curso esta enfocado en desarrollar, exponer y discutir los temas más clásicos de convexidad, para que el estudiante, si asi lo desea, profundice mas en los temas. Para los estudiantes que ya cursaron calculo 3, podrán encontrar aqui algunas aplicaciones sencillas de los temas de topología básica, para los estudiantes de los primeros dos semestres, el curso les puede servir para que tengan una introducción adecuada a los temas de topología básica, en este curso trataremos de desarrollar las ideas geométricas detrás de estos temas, enfocandonos en la convexidad.

Requisitos: Geometria analitica I, conceptos de espacio vectorial, linealmente independiente y linealmente dependente, buena intuición geometrica.

Forma de trabajar en línea:

Debido al COVID-19, las actividads son en línea y la forma de trabajar será asi: 3 clases por semana con el profesor y dos clases de ayudantia, usando la plataforma zoom. Tengo un canal de youtube donde puedes encontrar gran parte del curso, este curso lo complementaremos con la clase en línea, donde veremos un poco más de teoría que en los videos, los videos están publicos en youtube para que el alumno los pueda consultar cuando guste, no es necesario que este presente en la clase, unicamente se les pide entregar las tareas y evaluaciones que se dejen a tiempo. Además ocuparemos:

1. Classroom para subir notas, tareas y libros de texto que se usen en las clases, aquí tambien subiremos notas de los videos en pdf del curso, además aquí encontrarás registro de los videos de las clases.

2. Grupo de WhatsApp y Telegram para estar en comunicación constante con el grupo y asi poder atender dudas de las clases ( no es necesario unirse a los grupos, basta con estar al pendiente del classroom para seguir las evaluaciones del curso, cualquier duda la contesto a mi correo personal pavelrm@yahoo,com.mx)

Lista de reproducción del curso (que puedes empezar a revisar desde ahorita):

https://youtube.com/playlist?list=PLj9ww_YXE9UuytcWBbFCxOJsbbWAno9rU

Evaluación:

La evaluación será con tareas examen, aproximadamente 4 y si el tiempo lo permite, una exposición de algun tema al final del curso. La tareas se dejan con tiempo suficiente para que se puedan resolver con cuidado y pueden ser en equipos o indiviual. Tu promedio final es el promedio de tus tareas examen y tu exposición. Ahora, el trabajo con el ayudante es de la siguiente manera: el ayudante dejará tareas a lo largo del curso, las cuales se entregan con el y al final si tienes todas correctas tendrás un punto extra a tu promedio final (o el equivalente a lo hayas entregado de estas tareas del ayudante) y estas tareas son opcionales, si hay reposiciones si hay examenn final.

Aquellos interesados en el curso mandarme correo a pavelrm@yahoo.com.mx para darles el enlace al grupo de whtasapp y el classroom del curso, poner como asunto "conjuntos convexos 2022-2".

Temario

1. Conjuntos convexos y sus propiedades

1.1 Definición y propiedades.

1.2 Suma y multiplicación escalar de conjuntos convexos.

1.3 Envolvente convexa y combinaciones convexas.

2. Topología (muy) básica de Rⁿ

2.1 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos.

2.2 Interior, cerradura y frontera.

2.3 Algunas propiedades topológicas de los conjuntos convexos.

2.4 Continuidad (conceptos basicos).

3. Geometría Afín

3.1 Subespacios afines.

3.2 Combinaciones afines y envolvente afín.

3.3 Subconjuntos afínmente dependiente y afínmente independiente.

3.4 El teorema de Caratheodory.

4. Separación y soporte

4.1 Hiperplanos.

4.2 Teoremas de separación y soporte.

4.3 La proyección sobre conjuntos convexos.

5. Teorema clásicos de convexidad

5.1 Puntos extremos y teorema de Krein-Milman.

5.2 El teorema de Minkowski.

5.3 El teorema de Helly y sus implicaciones.

5.4 El teorema de Radon.

6. El teorema de Blaschke

6.1 La métrica de Hausdorff.

6.2 Convergencia de conjuntos con la metrica de Hausdorff.

6.2 El teorema de Blaschke.

7. Funciones Convexas.

7.1 Definiciones, ejemplos y propiedades.

7.2 Función soporte y Funcional de Minkowsky.

7.3 Continuidad y diferenciabilidad.

8. Figuras de ancho constante

8.1 Definición del ancho de figuras en el plano.

8.2 Figuras de ancho constante y sus propiedades.

8.3 Normales y binormales.

Bibliografia: Lay, Convex sets and their applications; Yaglom I, Boltianski V, Convex figures; Webster, Convexity.