Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Optativas de los Niveles V y VI, Álgebra Moderna II

¡Bienvenidxs!

Aquí pueden ver el video introductorio del curso:

https://drive.google.com/file/d/13vIlMBnl5C41XbeazP_cJF5O5pB1FE-S/view?usp=sharing

Esta es la liga para nuestras sesiones diarias de zoom:

https://cuaieed-unam.zoom.us/j/84451774105

Para los demás, esta es la propuesta del curso:

TEMARIO

1. Teoría de Anillos.

2. Anillos de polinomios.

3. Teoría de Campos y extensiones.

4. Teoría de Galois.

Para una descripción más detenida del temario revisar el classroom.

PERSPECTIVA PEDAGÓGICA: Moderna II es un curso retador pero muy gratificante.

El curso tiene 2 intereses paralelos, un interés histórico y un interés teórico.

Teoría: Desde una perspectiva teórica unifica y sistematiza todos los conocimientos que lxs estudiantes han adquirido hasta el momento:

1. Álgebra Superior II: La clase parte del conocimiento desarrollado sobre la estructura de los enteros y los anillos Zn para, a través de la generalización de esas ideas, desarrollar los resultados básicos de la moderna teoría de anillos y campos.
2. Álgebra Lineal I: La clase parte del conocimiento desarrollado sobre los espacios vectoriales y la existencia de bases, a través de entender a la extensiones de un campo como un espacio vectorial, para estudiar el índice de una extensión de campo y la existencia de algunos polinomios útiles para estudiar estas extensiones.
3. Algebra Moderna I: La clase por una parte es un desarrollo natural de los temas revisados en este curso, pues se estudian conjuntos con más estructura que los grupos: los anillos. Adicionalmente, el estudio de los grupos es central en la teoría de Galois para caracterizar aquellos polinomios que tienen solución por radicales.

Adicionalmente, el estudio de la teoría de Galois sugiere una relación muy especial entre dos objetos matemáticos: los campos y los grupos. Esta relación establece un funtor entre una categoría de campos y una categoría de grupos, de manera que el final de este curso es una invitación a una de las áreas de estudio del álgebra contemporánea: la teoría de categorías.
Contaremos con un experto que nos dará una breve introducción a esta teoría.

En resumen, este curso es una bisagra: primero utiliza todo el conocimiento del Álgebra desarrollado hasta este momento, lo sistematiza y unificada para desarrollar el contenido del curso; mientras que termina invitando al estudio de los cursos avanzados de álgebra.

Historia: El desarrollo de la teoría de Galois se dio en un momento política y matemáticamente único. Los años posteriores a la revolución francesa fueron vertiginosos para Francia, la efervescencia política duró más de cincuenta años. Además los matemáticos franceses: Cauchy, Fourier, Legendre, etc., estaban llegando a nuevos desarrollos, mientras que la influencia de las ideas de Lagrange sobre los problemas para solucionar la ecuación de quinto grado, a través del trabajo de Ruffini y Abel, estaba abriendo la puerta a nuevos problemas.

La pregunta en el aire era: dado que no existe solución por radicales para la ecuación general de quinto grado, a diferencia de las ecuaciones de grado menor, ¿cuáles son las condiciones para que un polinomio de quinto grado tenga dicha solución?

En este contexto vivió y trabajó Évariste Galois (1811-1832). De acuerdo al mito Galois fue un joven prodigio, debido a ello, a su arrogancia y a su falta de sistematicidad fue injustamente rechazado en su aplicación para cursar sus estudios profesionales en el Politécnico de París. Sin embargo, su genialidad eventualmente le encontró un mentor gracias al cual logró continuara sus estudios. Lamentablemente las inquietudes políticas del joven matemático junto con su rebeldía juvenil lo llevaron a la expulsión de la Normal Superior. Para continuar su tragedia, su padre cometió suicidio y Cauchy perdió un artículo de su autoría el cuál lo hubiera catapultado a la fama. Para terminar su trágica historia, Galois se vio obligado a batirse en duelo por el honor de una dama, una noche antes del duelo escribió rápidamente todas sus ideas matemáticas, la cuales mantendrían ocupados a lxs matemáticxs por 100 años. Al día siguiente Galois murió.

Hoy sabemos que buena parte de este relato puede ponerse en duda. Sin embargo, respecto a la verdad de su historia no hay conceso entre lxs expertxs.

El desarrollo histórico de la teoría de Galois será un hilo conductor del curso. Además estamos muy orgullosos de contar con algunos invitados expertos en el tema que nos compartirán su visión sobre esta figura histórica.

El curso será amigable para estudiantes con distintas formaciones, las listas de ejercicios serán diseñadas tomando en cuanto la diversidad del grupo.

Se incentiva la participación del grupo, particularmente en el diseño del temario. Esto último a través de encuestas para conocer los intereses de lxs estudiantes, el nivel de comprensión y la familiaridad general con los temas. En caso de haber solicitud de integrantes del grupo, se puede profundizar en temas que despierten su interés.

Se ofrece un enfoque didáctico con las siguientes características:

• Se harán comentarios históricos sobre lo que motivó el estudio de los conceptos y resultados que revisaremos.
• Se ofrecerán ejemplos para clarificar las ideas.
• Se hará énfasis en la aplicación de los resultados.

EVALUACION.

Tareas-examen: Se evaluará cada tema con una tarea-examen (habrá la posibilidad de subir un punto extra sobre la calificación correspondiente de cada una).

Lista de ejercicios: Para cada tema se ofrecerá una lista de ejercicios que será entregada para ser calificada.

Promedio: Las calificaciones de los ejercicios se promedian entre ellos para formar una quinta tarea-examen, la cual se promedia con los 4 exámenes parciales y así formar el promedio final. Para aprobar el curso se deben tener 4 ó más tareas-examen aprobadas y promedio aprobatorio. La calificación final aprobatoria se asigna bajo el criterio de que 5 o más décimas sube al entero inmediato superior del promedio.

Reposiciones: Si se tienen 3 o más tarea-exámenes aprobadas, se podrá reponer un parcial (esto no incluye la calificación formada por los ejercicios), en cuyo caso se considera la calificación más alta y se vuelve a promediar para obtener la calificación final (para aprobar el curso las calificaciones de todas las tareas-exámenes deben ser aprobatorias).

Examen Final: Se puede presentar examen final en cuyo caso la calificación final queda totalmente determinada por dicho examen. En caso de tener dos o más tareas-examen no aprobadas, para aprobar el curso, se tendrá que presentar un examen final. Es requisito indispensable que el alumno haya presentado TODAS las tarea-examen. El examen final determina por completo su calificación y solo se puede presentar una vez.

Advertencia: La reposición de una tarea examen o el examen final son evaluaciones excluyentes, es decir, sólo se puede presentar o bien reposición, o examen final (no ambos y sólo se presentan una vez).

NP: Si el alumno no presenta dos o más tarea-examen, se considera como no presentado el curso, en cuyo caso tendría NP.

PROPUESTA DE TRABAJO.

Medio de comunicación: Usaremos de manera central Google Classroom. Ahí:

• Se subirá el material.
• Se darán los avisos.
• Se contestarán dudas.
• Se subirán los trabajos de lxs estudiantes.

Adicionalmente contamos con un grupo de telegram: https://t.me/+A4-Xe0u-xgBmMGIx

En ambos medios subiremos las ligas a nuestras sesiones a través de zoom.

Material de apoyo:

• Para cada sesión se ofrecerá la bibliografía de consulta para el tema.
• Se ofrecerán notas con los elementos centrales de la sesión.
• Se subirán ejercicios para reforzar los conocimientos y habilidades adquiridas.
• Se contará además con un mapa que establece la conexión entre todos los resultados del curso.

La liga al google classroom es:

https://classroom.google.com/c/NDUzNTUxNTIxOTk0?hl=es&cjc=fdfxupq

O a través del código: fdfxupq

Ahí subiremos periódicamente el contenido del curso

Para ingresar a él es necesario contar con la cuenta de correo electrónico de google que otorga la facultad(@ciencias.unam.mx).

BIBLIOGRAFIA.

Artin, E., Modern Higher Algebra Galois Theory, (Ediciones Varias)

Bell, E. T., Men of Mathematics (Ediciones varias)

Bower, A., Category Theory and Galois Theory, Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal, V. 14 No 1, 2013, pp. 133-142

Dummit, D.S. Foore, R.M. Abstract Algebra (Ediciones Varias)

Fraleigh, J.B., Algebra Abstracta (Ediciones Varias)

Herstein, I.N., Abstract Algebra. (Ediciones Varias)

MacLane, S., Birkhoff, G., Algebra, (Ediciones Varias)

Rothman, T., The Fictionalization of Evariste Galois, The American Mathematical Monthly, V 89 No. 2, 1982, pp. 84-106.

Rotman, J.J., A First Course in Abstract Algebra, (Ediciones varias)

Rotman, J.J., Advanced Modern Algebra, (Ediciones varias)

Rotman, J.J., Galois Theory, (Ediciones varias)

Stewart, I., Galois Theory (Ediciones Varias)

Comenzamos clases el 14 de febrero a las 4pm.

Elizabeth Rios

Luis Reyes.