Matemáticas (plan 1983) 2022-2

1. Los días lunes miercoles y viernes se subira a la plataforma aulas virtuales moodle del curso las notas (en pdf) de los contenidos temáticos de acuerdo al temario de la materia.
2. Los martes, miercoles y jueves tendremos sesiones síncronas en el horario de clase, donde se trabajaran dudas de las notas, se haran ejercicios y se apoyará el entendimiento de los conceptos mediante demostraciones y ejemplos.

1. Se propondrán algunos problemas al final de cada nota subida para que el alumno después de revisar la teoría, reflexione y resuelva de forma autónoma estos problemas, los cuales serán discutidos de forma grupal junto con el profesor y el ayudante en las sesiones síncronas.
2. Con el objeto de lograr una mejor comprensión de los conceptos, se proporcionará a los alumnos una serie de ejercicios semanales de tarea moral (no se entrega) para realizar en casa y de manera autónoma.
3. En la medida que el tiempo nos alcance en las sesiones síncronas se discutirán los problemas planteados en el punto 2.
4. Se contará con un foro de dudas para cada nota que se suba a la plataforma del curso y que estará habilitado en dicha plataforma.

El temario es el siguiente:

Ecuaciones Diferenciales Lineales y no lineales de Primer Orden

• Repaso de nociones básicas y planteamiento de problemas generales.
• Campos vectoriales en ℝn y su ecuación diferencial asociada.
• Definición de espacio fásico espacio fase extendido, solución y retrato fase de una ecuación diferencial.
• Ejemplos de métodos geométricos para analizar el retrato fase de una ecuación diferencial: isóclinas, familias de curvas paramétricas tangentes al campo vectorial.
• Planteamiento de problemas generales: Existencia y unicidad de soluciones; aproximación de la solución y cuantificar el error
• Ecuaciones homogéneas.
• Ecuaciones no homogéneas y métodos de variación de parámetros.
• Teorema de Existencia y Unicidad y dependencia continua respecto a condiciones iniciales para este caso, ejemplos.
• Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el método del factor integrante.
• Ejemplos y aplicaciones.
• Teorema de Existencia y Unicidad de Picard.
• Ecuación integral, iterados de Picard.
• Convergencia de los iterados de Picard.
• Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

• Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.
• Propiedades del conjunto de soluciones, Independencia lineal de soluciones, wronskiano.
• Solución general.
• Ecuaciones no homogéneas, métodos de variación de parámetros (coeficientes indeterminados).
• Interpretación geométrica de las soluciones en el plano, ejemplos.
• Vibraciones mecánicas.
• Oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancias.
• Métodos de solución por series de potencias
• Cálculo del radio de convergencia
• Ecuaciones singulares y el método de Frobenius
• Ejemplos de Ecuaciones de Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff, Ecuación hipergeométrica

Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales

• Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden, ejemplos.
• Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas.
• Soluciones lineales independientes.
• Ecuación del wronskiano y su solución.
• Matriz fundamental y solución general.
• Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y vectores propios.
• Núcleo de la matriz y vector propio generalizado, teorema de Cayley-Hamilton.
• Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas.
• Método de variación de parámetros, ejemplos.
• Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de primer orden caso con coeficientes constantes y coeficientes continuos.
• Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscilación.
• Tanques de salmueras.
• Circuitos eléctricos.
• Sistemas de poblaciones, etc.

Bibliografía:

• Arnold, V.I., Ordinary Differential Equations (3ª ed.). Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G.,. Ecuaciones Diferenciales. México: International Thomson Editores, 1999.
• Braun, M., Differential Equations and their Applications. New York: Springer-Verlag,1993.
• Derrick, W., Grossman, S., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. México: AddisonWesley Iberamericana, 1986.
• Boyce, W., Diprima, R., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. New York: J. Wiley, 2001.
• Hasser, N.B., LaSalle, J.P., Sullivan, J.A., Análisis Matemático. Vol. 2. México: Ed. Trillas, 1977.

Ponderación