Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Grupo 4152, 65 lugares. 25 alumnos.
Profesor Jessica Angélica Jaurez Rosas lu mi vi 7 a 8
Ayudante Oziel Gómez Martínez ma ju 7 a 8
 

La presentación del curso se divide en cuatro apartados. El primero y el segundo desarrollan de manera puntual el temario y la dinámica de la clase. El tercer apartado consiste en una serie consideraciones importantes a tener en cuenta, y finalmente, el último apartado precisa la información para la primera sesión.

Temario y material bibliográfico

Introducción

En esta parte se abordan campos vectoriales en la recta, en el plano y en el espacio tridimensional. Se asocia una ecuación diferencial a un campo vectorial y se plantea el problema de encontrar soluciones a una ecuación diferencial. Se introduce la noción del espacio de las fases y del espacio de las fases extendido. Se plantean ejemplos para generar representaciones visuales y se muestra como definir campos vectoriales que cumplen ciertas propiedades dadas.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes (en una y varias variables)

En esta parte se trata tanto el caso homogéneo como el no homogéneo. En el caso homogéneo se resuelve primero el caso de dimensión uno, para pasar posteriormente a varias variables. Se introducen los conceptos de valores y vectores propios de una matriz con coeficientes constantes, así como los procesos de diagonalización y normalización de matrices. En los casos de dimensiones pequeñas se producen representaciones visuales para analizar los diversos comportamientos de los campos vectoriales lineales. En esta parte se demuestra que las soluciones de una ecuación lineal homogénea forman un espacio vectorial de dimensión finita, con lo que se introduce el concepto de matriz fundamental de soluciones así como de Wronskiano. Se aborda el teorema de Liouville y su significado geométrico para ecuaciones diferenciales definidas por matrices con coeficientes constantes. Para abordar el caso no homogéneo se emplea el método de variación de parámetros (en una y varias variables) que, aunado a lo desarrollado en el caso homogéneo, permite concluir que las soluciones forman un espacio afín. Se hace notar que si el término no homogéneo es continuo entonces la ecuación tiene solución explícita.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes

Esta parte se comienza con la reducción de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes a una ecuación de primer orden en R^2 definida por una matriz con coeficientes constantes. Lo anterior permite llevar el estudio de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes (en los casos homogéneo y no homogéneo) a los resultados abordados en la parte previa del curso. Se procede de manera análoga en el estudio de ecuaciones diferenciales de orden n arbitrario con coeficientes constantes, reduciendo estas ecuaciones a ecuaciones de primer orden en R^n definidas por matrices con coeficientes constantes. Se abordan ejemplos de vibraciones mecánicas: movimientos con y sin amortiguamiento, y con fuerza externa (ejemplo de resonancia). Esos ejemplos se resuelven tanto con lo visto previamente en el curso como con los métodos usuales.

Ecuaciones diferenciales exactas

Se establece la equivalencia entre ecuaciones hamiltonianas y ecuaciones diferenciales exactas. Con esta perspectiva, se aborda la noción de factor integrante en un sentido geométrico. Esta perspectiva también permite dar ejemplos usando las nociones geométricas aprendidas en los cursos de Cálculo Diferencial.

Teorema de existencia y unicidad

En esta parte se demuestra el teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias. Este tema incluye las iteradas de Picard y su convergencia, así como el dominio de definición de las soluciones obtenidas.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables

En esta parte se estudian ecuaciones que nuevamente están en términos de una matriz, pero ahora con coeficientes variables. Ya que se pierde la continuidad del campo vectorial que define la ecuación diferencial, se resuelven casos cuyas soluciones se expresan en series de potencias convergentes, o bien, que se logran abordar usando el método de Frobenius. En esta parte se ven las ecuaciones clásicas: Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff y ecuación hipergeométrica. Este tema se abordará en función del tiempo que tengamos antes de acabar el semestre.

Material bibliográfico

Algunos libros que pueden servir de apoyo para el curso son:
V.I. Arnold, “ Ordinary Differential Equations”, Springer-Verlag.
P. Blanchard, R. Devaney, G. Hall, “Ordinary Differential equations”, Thomson Brooks/Cole.
P. Hartman, "Ordinary Differential Equations", Society for Industrial and Applied Mathematics.

Dinámica del curso

Enseguida describimos la dinámica del curso, considerando los rubros Clases y Evaluación.

Clases

Se impartirán las clases de manera virtual. Se tendrán tres sesiones a la semana con la profesora, los días martes, miércoles y viernes, y dos sesiones con el ayudante, los días lunes y jueves. Es importante mencionar que para comprender cada uno de los temas del curso se deberá asistir a las cinco sesiones, ya que el desarrollo de ejemplos abonará no sólo en la comprensión de la teoría sino también en su propio desarrollo.
En todas las clases se atenderán las dudas de los temas que se estén viendo o que se hayan visto. También se podrán resolver dudas específicas sobre los ejercicios de las tareas, una vez que el estudiante los haya intentado por su cuenta y tenga propuestas de resolución.
También pueden escribirnos a nuestros correos electrónicos las dudas que surjan en su estudio. Para ello, les pedimos que por favor nos envíen copia tanto a la profesora como a los ayudantes.
Como apoyo técnico usaremos las plataformas Classroom y Zoom.

Evaluación

Ya que en nuestro curso la comprensión de la teoría y el desarrollo de ejemplos estarán ligados de manera intrínseca, eso se reflejará en la forma de evaluar, considerando tanto exámenes parciales como tareas.
Para la calificación final las tareas contarán 50% y los exámenes 50%, siendo necesario que se cumplan las siguientes condiciones:
- El promedio de las tareas deberá ser aprobatorio (i.e., mayor o igual a seis).
- El promedio de los exámenes deberá ser aprobatorio (i.e., mayor o igual a seis).
Es importante mencionar que se podrán reponer a lo más la mitad de los exámenes parciales.
Para realizar un examen final con el que se apruebe el curso, será necesario que hayan enviado al menos la mitad de las tareas que se dejen a lo largo del semestre.
Los ejercicios de las tareas se harán llegar por medio de la plataforma Classroom, y por ese mismo medio se entregarán. Para cada una de ellas, se creará un espacio donde se puedan subir los archivos.
Los exámenes se aplicarán durante la hora de clase y será necesario que los estudiantes se conecten a la sesión para su aplicación.

Consideraciones importantes

  • A los estudiantes inscritos se les pedirá que envíen escaneada su identificación de la UNAM, y que usen su correo de ciencias para su interacción dentro del grupo.
  • En caso de tener el consentimiento de todos los presentes, se grabarán las sesiones en vivo para compartirlas con el grupo en Classroom. A los estudiantes inscritos se les pedirá que, en caso de estar de acuerdo, den su consentimiento por escrito para poder realizar las grabaciones.
  • Se pedirá que los escritos que serán evaluados tengan una redacción clara, en especial las tareas, ya que contarán con más tiempo para escribirlas. También se requerirá que todos vayan escritos a mano, con letra grande y legible, que sean escaneados y enviados en archivos pdf legibles (no en foto). Cabe mencionar que es responsabilidad de cada uno de los estudiantes verificar que los escritos que serán evaluados estén ordenados y que se suban correctamente a classroom.
  • Para que las tareas y los exámenes sean evaluados será necesario que se entreguen en los plazos establecidos.
  • Si hay trabajos (tareas o exámenes) que sean copias, ya sea parciales o totales, esos trabajos se anularán, o bien, se harán exámenes orales a todas las personas que los hayan presentado.

Primera sesión

La presentación del curso será el lunes 14 de febrero del 2022 en el horario de la clase. Se recomienda a los estudiantes interesados que asistan a la reunión, pues ésta no se grabará debido a que, entre otras cosas, abordaremos el tema del consentimiento para grabar las sesiones en general.
El código de la clase en classroom desde @ciencias es: 5ahquu7
El enlace de zoom que usaremos aparece en el rubro "Trabajo de clase" del grupo de Classroom. Cabe mencionar que ese código de clase y ese enlace se usarán hasta tener la lista definitiva de los estudiantes inscritos.

 


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