Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

1.- A continuación aparece la Presentación del curso de Cálculo III que impartiremos este semestre en forma conjunta el profesor Miguel Daniel Garrido Reyes y quien esto escribe (Javier Fernández García). A todos los compañeros interesados en participar en él –sean inscritos u oyentes–, les pedimos que llenen una encuesta inicial para hacernos una idea de la composición del grupo (y de las necesidades de equipo que pudieran tener para en su caso buscar una solución). Para ello, por favor ingresen al Classroom, con el siguiente enlace:

https://classroom.google.com/c/NDY2Mzc0MDMzMDM5?cjc=j7oxt4u

2.- Así que todo listo, nos vemos el lunes 14 de febrero a las 7:00 am en punto. Ahí aclararemos sus dudas, discutiremos las ideas que quieran proponer, e implementaremos las cuestiones organizativas del curso. Y al día siguiente comenzaremos las clases formalmente.

La dirección de zoom para acceder a las clases será:

https://cuaed-unam.zoom.us/j/97706481527

Presentación del curso de Cálculo III

Nota aclaratoria pertinente: Si solo te interesa ver cómo va a funcionar el curso, puedes perfectamente saltarte la Introducción y el capítulo IV e ir directamente a los demás capítulos.

Contenido:

I. Introducción.

II. El esquema general de funcionamiento del curso.

(a) Dos cuestiones.

(b) Entonces, ¿cómo quedan las cosas?

III. La evaluación.

IV.- Orientación de los cursos de cálculo que impartimos. El curso de cálculo III.

V.- Temario del curso.

VI.- Bibliografía.

VII. Y por último…

I. Introducción

1. Antes que nada, sean bienvenidos todos los interesados en llevar nuestro curso. Con pandemia y sin pandemia, he abierto las puertas a todos los estudiantes que desean inscribirse en él, sin más condición que su interés en estudiar el cálculo y su disposición a entrarle a todo el trabajo que implica aprenderlo a un buen nivel, según mi modesta opinión al respecto.

2. Hay cosas que podrán cambiar con la pandemia; pero hay otras que no, por lo menos en lo que a este curso se refiere. No comparto la idea de disminuir el número de horas de clases presenciales necesarias para aprender bien la materia (así sea por internet) ni “rebajar” las evaluaciones para “aliviar el estrés” del encierro en que quizás estemos todos.

Pienso que la universidad hace un daño mayor a sus estudiantes si abarata la educación que reciben (la cual está obligada a impartirles por lo demás). La educación pública en general, y la que imparte la UNAM en particular, además de ser absolutamente gratuita, creo que debe ser una educación que garantice una sólida formación de sus estudiantes; y que desarrolle en ellos una capacidad y un hábito de trabajo regular y sistemático.

3. No comparto las teorías que provienen de las experiencias de “educación a distancia” previas a la pandemia, y que se han expuesto en diferentes foros, según las cuales “un curso a distancia debe alejarse de la idea de un curso presencial impartido en línea”, “los profesores deben reducir al máximo el tiempo de clases sincrónicas, más bien deben grabar algunos videos breves y dejar trabajos para que los resuelvan los estudiantes”. Lamento mucho que en los semestres previos diversas instancias de gobierno de nuestra facultad se hayan adherido a estas teorías, particularmente pensando en los estudiantes de los primeros semestres.

4. La educación a distancia anterior a la pandemia era una opción pensada para estudiantes que no podían asistir regularmente a una clase, sino ir aprendiendo los contenidos conforme fueran pudiendo hacerlo. Existen distintos proyectos de universidad a distancia en el país. Conozco personalmente a varios profesores que trabajan o han trabajado como tutores en algunos de estos proyectos. Y hay un punto en el que todos coinciden: el nivel de preparación que adquieren los alumnos en dichos proyectos, por lo menos en el área de matemáticas, es incomparable en muchos aspectos –por decir lo menos de sus propias expresiones– al que reciben los estudiantes inscritos en el sistema tradicional. Varios de ellos han llegado a comentar que difícilmente un egresado de dichos cursos aprobaría las materias de los cursos presenciales –con excepciones, como siempre.

Loable el propósito de estos proyectos de buscar una alternativa para los muchachos que no pueden acudir a clases ni seguir el ritmo de una universidad “presencial”; pero cuestionable el resultado de lo que realmente se ofrece. Esto no tiene que ver con los propios profesores que allí laboran –mucho menos con sus estudiantes–, sino con el proyecto mismo, que desde hace varios años se ha estado reconsiderando a la luz de estos discutibles resultados.

5. La elaboración de videos previos a las clases condensando lo básico del material que los alumnos deben aprender, viene a ser como elaborar notas de clase con una cámara y un micrófono presentes. Eso está muy bien. Mejor aún si se escriben libros bien trabajados que expliquen con amplitud los temas correspondientes (mismos que pueden rehacerse con exposiciones con imagen y voz –lo que para algunos alumnos puede ser preferible, y para otros no–). Pero la universidad no puede reducir su proyecto educativo a entregar a sus alumnos los materiales que deben aprender, abrir algunas sesiones de aclaración de dudas, dejarles trabajos y proceder a evaluarlos (por lo demás, sin tener mayor cuidado en constatar responsablemente si quien elaboró los trabajos fue realmente quien recibe la calificación correspondiente). Eso es casi como plantear que la universidad es un proyecto educativo solo para los estudiantes autodidactas.

6. No está mal que los estudiantes autodidactas puedan recibir el reconocimiento correspondiente por la universidad (siempre y cuando, repito, sea muy estricta la institución en constatar con profesionalismo que en realidad adquirieron una formación comparable con la que exige a sus estudiantes en general). El detalle es que estamos hablando de menos del 1% de los estudiantes. Reducir (la UNAM) su responsabilidad docente a hacer eso –sin pandemia y con pandemia–, significa en los hechos desentenderse de la formación profesional en serio de prácticamente todos sus estudiantes; lo cual solo puede sostenerse si se flexibilizan las calificaciones sensiblemente –pues de otra forma, el número de reprobados sería enorme. Y ahí tenemos entonces la combinación perfecta del fraude educativo: yo me desentiendo de tu formación, tú puedes obtener mi reconocimiento sabiendo lo básico –o bien presentando los trabajos o exámenes que te pida, sin yo tener elementos acerca de si fuiste tú realmente quien los hizo o los respondió.

7. Al revés de lo que se plantea como recomendación, pienso que debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por lograr que los cursos en esta situación de aislamiento impuesto por la pandemia sean lo más parecido posible a los cursos presenciales. Nada sustituye el contacto humano, el ambiente de discusión y de compañerismo que puede crearse cuando todos compartimos un mismo espacio, el aprendizaje de los otros, la información que ofrece al profesor el observar las reacciones de sus alumnos a sus preguntas o sus explicaciones, el entusiasmo que puede transmitir en su materia teniéndolos delante a ellos y no a una pantalla de computadora. Pero por ahora eso no es posible, y debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por rescatar hasta donde podamos todos esos rasgos de la educación presencial –incluyendo la interacción entre los propios estudiantes.

8. Me parece que nuestros cursos en esta situación deben ser más bien concebidos como “cursos presenciales en línea” dirigidos a estudiantes inscritos en la materia que acuden a clase en el horario respectivo, no como “educación a distancia” para estudiantes que no pueden llevar clases en horarios bien definidos, constantes y cotidianos (aunque a ellos mismos puede servirles lo que se propone). Esto presupone mucho más trabajo por parte del profesor para poder lograrlo –o acercarse un poco a ello–, pero esa es en mi opinión nuestra responsabilidad. Particularmente, de los profesores de tiempo completo.

9. Debo decir que ya a estas alturas, lo que estoy planteando no es lo que “me imagino” debería ser. Desde la semana misma en que se suspendieron las clases presenciales en la Facultad (tercera semana de marzo de 2020), empezamos a dar las clases en línea (entonces, Cálculo IV). Y los semestres siguientes dimos nuestros cursos apegándonos a esta idea. La clase se sostuvo todos los días de lunes a sábado, dos horas diarias (los sábados a veces más). Los videos completos y las notas que se iban escribiendo en clase se subieron diariamente también.

10. En términos generales, mi balance es que, salvo por un problema que mencionaremos más abajo, son preferibles las clases presenciales-en línea a los videos pre-grabados, ellas nos facilitan interactuar todos los días con los alumnos, discutir con ellos los contenidos, tratar de que sean parte del redescubrimiento y construcción de los conceptos, los resultados, los ejemplos y los contraejemplos, los argumentos y las pruebas; posibilitan, al menos en principio, la discusión, el debate de las ideas.

Debo decir sin embargo que considero que aún me falta experiencia para conseguir la misma participación de los alumnos en la discusión por estos medios, no lo logro como quisiera, esa es la verdad; pero creo que hay que trabajar en ello, pues si logramos irlo resolviendo, se podría abrir una alternativa más allá de la pandemia para decenas de miles de jóvenes que año con año son rechazados, pero que sí quieren y pueden asistir regularmente a sus clases, trabajar en sus materias, discutir con el profesor y sus compañeros, hacer todo igual que como si hubieran sido aceptados, recibiendo una educación de un nivel comparable (aunque perdiéndose, no hay duda, de muchos otros elementos esenciales en su formación como ser humano que aporta la convivencia cotidiana que se vive en las universidades).

Lo anterior, en el proceso mismo en que se lucha porque las universidades públicas amplíen sus matrículas, sus instalaciones y su planta docente para recibir a todos los jóvenes que tocan a sus puertas; el país genera recursos suficientes para eso y más, el detalle es que haya la disposición de tomar medidas para que se distribuyan atendiendo a estas y otras prioridades.

11. Desde luego todo esto presupone que los estudiantes tienen posibilidades de acceder a los cursos digitalmente (básicamente, requieren de preferencia una tableta –si es posible con lápiz electrónico– o una computadora o por lo menos un celular adecuado, y una red de internet conveniente en el domicilio en que toman la clase). Según las estadísticas que han presentado las autoridades de la facultad, este es el caso de la gran mayoría de nuestros alumnos. Y, según se ha informado oficialmente, se han tomado medidas para garantizar que quienes no tienen esos recursos básicos puedan contar con ellos. Lo primero que haremos en nuestro curso es un censo, para saber cuál es la situación de nuestros alumnos a este respecto. Y entre todos buscar soluciones para los que no cuenten con los recursos indispensables.

II. El esquema general de funcionamiento del curso

Lo planteado en la Introducción permite entender entonces la línea general con la que funcionaremos.

(a) Dos cuestiones

(i) La experiencia de los dos primeros semestres en línea nos mostró que el avance es sensiblemente más lento con las clases presenciales-en línea, que con las clases presenciales frente a grupo; y que los videos pre-grabados permiten abarcar en el mismo tiempo bastante más material que los videos de las discusiones en línea.

Y por otro lado, nos ha mostrado también que abrir el acceso a los videos grabados de cada clase, si bien tiene la ventaja de que los alumnos que no entraron a ella pueden verla en cualquier momento, tiene a la vez la desventaja de que propician con mucha facilidad la inasistencia a la clase y la acumulación de videos a revisar por los alumnos (2 horas diarias), lo que al paso de muy poco tiempo se convierte en algo imposible de cubrir, favoreciendo un notable relajamiento de la dinámica de trabajo del curso, un progresivo abandono del compromiso con la materia y con ello una deserción significativamente mayor que la usual.

De ahí que, por un lado, posiblemente incorporemos algunos videos pregrabados al curso, los cuales serían transmitidos durante el horario de la clase correspondiente. Y por otro, los videos permanecerán disponibles por 24 horas y en los días previos al examen parcial correspondiente. Es lo más parecido a los cursos presenciales. En cuanto a las notas de clase, estas estarán todo el tiempo accesibles.

(ii) El curso actual lo impartiré en forma conjunta con el profesor Miguel Daniel Garrido Reyes. La teoría nos la repartiremos entre los dos y los ayudantes trabajarán simultáneamente con ambos. Somos en realidad un solo equipo.

Hay diversas modalidades de este curso conjunto que podríamos implementar: que yo imparta dos clases a la semana (de dos horas cada una) y él otras dos; que yo imparta todo un tema o subtema y él todo el siguiente; que él imparta una semana y yo otra semana; en fin. Iremos probando las distintas alternativas, a ver con cuál el grupo se va sintiendo más a gusto.

(b) Entonces, ¿cómo quedan las cosas?

1. Las clases serán todos los días, de lunes a sábado, de 7:00 a 9:00 horas (el horario de los sábados se puede modificar de común acuerdo entre todos los participantes, dado que son pocos los cursos que realmente se imparten ese día –a pesar de aparecer en los horarios oficiales–). Tengan presente que el curso se adapta principalmente para quienes puedan asistir regularmente a la clase en el horario correspondiente; o si acaso, que en el lapso de un día puedan ponerse al corriente.

Los sábados en la ayudantía se resolverán ejercicios generales que correspondan con lo avanzado durante la semana (al margen de que, naturalmente, en cada clase se irán haciendo ejercicios también). Los problemas a abordar en estas sesiones son discutidos previamente semana a semana por los profesores con los ayudantes.

2. Algunas de las iniciativas impulsadas en semestres anteriores, podrían retomarse en este, si así lo desearan:

(a) Formación de un grupo de trabajo especial con aquellos estudiantes a los que les cuesta más trabajo avanzar (o que se sienten con mayores huecos en su formación anterior). Este grupo puede mantenerse funcionando todo el semestre si fuese necesario.

(b) Una sesión extra-clase de discusión de los exámenes cáliz de cada tema, uno o dos días previos a cada examen parcial. Y si se quiere, otra sesión posterior a los exámenes parciales para resolverlos con los asistentes.

(c) Sesiones especiales dedicadas a la solución de problemas de cada tema.

Si hay más propuestas, bienvenidas.

3. Todos los equipos de trabajo deberán nombrar un representante. La idea es mantener al menos una reunión de trabajo después de cada examen parcial entre los representantes y nosotros, para recoger sus inquietudes, observaciones, sugerencias, etc. sobre el curso.

Aparte, sostendremos reuniones de trabajo semanales de todo nuestro grupo responsable del curso (profesor, ayudantes y asesores) y otra más del profesor con los ayudantes.

III. La evaluación

(a) La evaluación consta de tres partes: Una, el trabajo de las tareas, que se desarrollará en equipo (4 a 7 integrantes de preferencia). Otra, los exámenes parciales, que serán individuales. Y otra más, la evaluación del profesor, los ayudantes y los asesores en función de la participación de cada alumno en clase, en las ayudantías y en las reuniones de los equipos asistidas por los asesores.

(b) Por cada tema del curso habrá una tarea y un examen parcial. Las tareas –cada una de las cuales podrá dividirse en varias “entregas”, para no dejar que se acumule el trabajo– valdrán el 35% y los exámenes el 65%. Y para quienes quieran reponer algún examen parcial no aprobado –a lo más dos– o subir su calificación final, habrá un primer examen final escrito. Todos los exámenes se hacen a cámara abierta. Para exentar el examen final –promediando las tareas como se mencionó antes– no basta con tener promedio aprobatorio de los exámenes parciales, es requisito que en todos ellos –o en sus reposiciones– la calificación haya sido mayor o igual que 5.

(c) Estamos evaluando la posibilidad de aplicar un examen semanal de 10 minutos, en el cual se hagan 4 o 5 preguntas básicas de respuesta breve, sencillas, sobre lo visto en la semana, que permita ir evaluando el seguimiento regular de las clases. De implementarlo, estos exámenes valdrían una parte del 65% mencionado en el punto anterior.

(c) Si el día en que se realiza un examen parcial (que por lo general serán los sábados) el alumno tiene algún otro compromiso y no lo presenta, puede utilizar una de sus dos reposiciones. Ningún examen se repite.

(d) Dadas las irregularidades que pudieran presentarse en condiciones en que los alumnos no elaboran sus exámenes estando presentes el profesor y/o los ayudantes –y dada la experiencia a este respecto, propia y de otros profesores y alumnos–, la calificación aprobatoria podrá ser necesario revalidarla en un examen oral en caso de no haber elementos suficientes o haber duda acerca de la fidelidad de la misma. Esto es particularmente aplicable en el caso de exámenes que “pasan” de un alumno a otro, o de soluciones esencialmente iguales a las típicamente bajadas de internet.

Aunque debo decir que por lo general no ha habido este problema en nuestros cursos: son realmente pocos los muchachos que por una razón o por otra no resisten la tentación de copiar o dejar copiar o bajar una solución de la red; en general, se logra establecer un ambiente de confianza entre todos, basado en la honestidad de cada uno y en nuestra relación fraterna y nuestro ambiente de trabajo y de respeto en el curso.

IV. Orientación de los cursos de cálculo que impartimos. El curso de cálculo III.

Desde los primeros años que impartí la materia, me fui convenciendo de que las dificultades en la adaptación a los cursos de la facultad –en particular al cálculo, pero no solamente– comienzan con el lenguaje mismo que se utiliza en ellos, el uso sistemático de la lógica formal, el hábito de demostrar todo lo que se afirma –cuestión fundamental de toda actividad científica–. Esto toma tiempo, debemos entenderlo, partir de ello. Pero es tiempo bien invertido, es algo que allana el camino posterior en todas sus materias a los estudiantes, en todos los semestres –de hecho, en toda su vida profesional–.

Por otra parte, es esencial –esencialísimo, diría yo– la comprensión de dos temas en los que descansa el concepto que juega el papel de columna vertebral del cálculo (me refiero al concepto de límite, a la idea de convergencia): esos temas son el infinito y los números reales. A mi parecer, estos temas reciben una atención demasiado superficial en el programa oficial de la materia, y los estudiantes acaban “pagando aduana” después por no haberse detenido en ellos.

Y hay otro elemento a tomar en cuenta: el papel de los cursos de cálculo en la formación matemática de los estudiantes de física, matemáticas, actuaría y matemáticas aplicadas, es demasiado importante como para reducirlos a la enseñanza de ciertos procedimientos y técnicas de solución de determinados problemas (integración, diferenciación, series, límites). Debemos preocuparnos por desarrollar la capacidad de los alumnos para traducir geométricamente –o físicamente– resultados más o menos complicados; y de descubrir por ellos mismos nuevos resultados. Sacarle filo a su intuición, a la vez que entrenarlos en el encadenamiento de largas secuencias de razonamientos lógicos que les ayuden a demostrar lo que conjeturen que es verdadero. Está claro que esto es algo que no se logra en un par de semestres, que lo irán desarrollando a lo largo de toda su carrera. Pero indudablemente los cursos de cálculo juegan un papel fundamental en eso: no de balde deben cursarlos durante la mitad de duración de sus carreras y representan un número de créditos cada uno igual a casi el doble de cualquier otra materia.

Llegar a clase y escribir un teorema, hacer la prueba y dar algunos ejemplos de cómo se aplica, puede ser bastante rápido. Pero llegar, formular una idea general sobre la cual reflexionar posibles resultados, recoger las propuestas, plantear contraejemplos que muestren las debilidades de las mismas y orienten los siguientes pasos a dar en la formulación de las hipótesis necesarias del resultado buscado, reproduciendo el ciclo hasta llegar a un resultado final sólido, robusto, pulido; y entonces sí, enunciarlo con precisión y probarlo formalmente –lo cual ya está prácticamente resuelto en la discusión previa–, es algo que toma mucho más tiempo. Pero es algo que puede resultar muy valioso –por lo menos en una serie de resultados– si buscamos que los estudiantes no simplemente “se enteren” de la matemática, sino que la redescubran y que sean capaces de hacer matemática, de crear matemática.

No pretendo decir que todo esto está garantizado, que todo sale maravillosamente, ni mucho menos; sino simplemente que me guío con esa idea. No son pocas las veces que termino una clase con el sinsabor de que no me salió como hubiera querido, que no me gustó, que pude haberla dado mucho mejor. Esa es la realidad.

Así las cosas, el curso de cálculo I está principalmente orientado a construir bien los cimientos, las columnas y las trabes; no solo en términos de los conceptos básicos –que sí–, sino del desarrollo mismo del pensamiento matemático, avanzando simultáneamente en el manejo de las ideas geométricas, lógicas, algebraicas y físicas; intuitivas y formales. Y el de Cálculo II a construir ya todo el edificio –más bien habría que decir, el primer piso del mismo, el que se refiere a las funciones reales de variable real.

Los cursos de Cálculo III y Cálculo IV llevan todo lo visto antes a espacios más generales, a funciones definidas en dichos espacios.

En Cálculo III, empezamos por estudiar el espacio R^n, las operaciones básicas y algunos conceptos clave susceptibles de definirse en él; y abrimos una breve reflexión sobre la generalización de los mismos a estructuras aún más amplias (espacios vectoriales (e.v.), e.v. con un producto interior, e.v. normados, espacios métricos). De manera que se abre la puerta a llevar los conceptos fundamentales del cálculo (convergencia, diferenciabilidad e integrabilidad) y los grandes resultados asociados a ellos, a espacios mucho más generales que el propio espacio R^n. Aunque el curso consiste básicamente en estudiar las funciones de R a R^n, las funciones de R^n a R, y las funciones de R^n en R^m, restringiéndonos a los conceptos de convergencia y diferenciabilidad. Y en Cálculo IV se trabaja con diversos tipos de integral definidas en estos espacios, lo cual se conecta ya con resultados importantes de la física y diversas áreas de la matemática.

Hechas todas estas aclaraciones, paso ahora a plantear a grandes rasgos los temas del curso:

V. Temario del curso

(1) El espacio R^n.

(a) Dos operaciones básicas, sus propiedades. Lo que se puede hacer con ellas. El producto escalar, la norma y la distancia en R^n. Generalización a otras estructuras de estos mismos conceptos (diversas alternativas).

(b) Las rectas y los planos en R^3 “vistos desde el cálculo”.

(c) Sucesiones en R^n.

(2) Funciones de R en R^n (Curvas).

(a) Análisis geométrico: diferencia entre gráfica e imagen. Las curvas descritas en forma paramétrica. Aprender a dibujarlas, a razonar con ellas. Lazos, flores, cicloides, etc.

(b) Los conceptos de límite, continuidad y derivada. Reparametrización.

(c) Estudio de las propiedades geométricas de las curvas: vectores tangente, normal y binormal; curvatura, torsión, plano osculador, rectificador y normal; fórmulas de Frenet. Uso de geogebra.

(d) Conceptos físicos asociados a las curvas: velocidad, rapidez, aceleración, aceleración tangencial y centrípeta, estudio del movimiento circular.

(3) Propiedades topológicas de los conjuntos.

(a) Punto interior, exterior y frontera. Punto de acumulación y punto aislado. Conjuntos abiertos y cerrados en R^n (y más allá). Discusión de múltiples propiedades de ellos.

(b) Conexidad: los conjuntos formados “de una sola pieza” en R^n (y más en general). Propiedades importantes.

(c) Compacidad. Teorema de Heine-Borel y otros resultados.

(4) Funciones de R^n en R.

(a) Análisis geométrico: curvas (conjuntos) de nivel, secciones.

(b) Límite y límites iterados. Continuidad en un punto. Resultados, ejemplos y contraejemplos. Aprender a identificar trayectorias problemáticas y a prever cuándo éstas no existen.

(c) Teoremas fuertes de continuidad. Propiedades de las funciones continuas en conjuntos conexos y en conjunto compactos.

(d) Derivadas parciales y derivadas direccionales. El vector gradiente. Razonamientos geométricos y heurísticos de múltiples propiedades. Diferenciabilidad. Discusión geométrica y heurística de una importante condición suficiente para garantizar la diferenciabilidad de una función. Ejemplos y contraejemplos geométricos que aparecen en la discusión de la modificación de las hipótesis.

(e) Derivadas de orden superior. Una condición suficiente para garantizar la igualdad de las derivadas cruzadas. Operadores diferenciales. El teorema de Taylor en R^n (aproximación de una función con polinomios de varias variables).

(f) Máximos y mínimos en puntos interiores. El Hessiano. Máximos y mínimos en puntos frontera, optimización bajo restricciones. El teorema de Lagrange.

(5) Funciones de R^n en R^m.

(a) Algunos conceptos y resultados básicos de álgebra lineal. Dependencia e independencia lineal, matriz asociada a una transformación lineal, interpretación geométrica de sus vectores columna y sus vectores renglón. Identificación de las funciones inyectivas y las funciones sobreyectivas. La función inversa de una función lineal. (Este tema posiblemente lo vayamos desarrollando poco a poco conforme lo vayamos requiriendo -de hecho, desde la segunda parte del tema 4).

(b) Análisis geométrico de las funciones de R^2 en R^2, de R^2 en R^3 (superficies descritas en forma paramétrica), y de R^3 en R^3. Cambios de coordenadas polares, esféricas, cilíndricas.

(c) Límites y límites iterados. El resultado principal. Continuidad en un punto. Generalización de los teoremas fuertes de continuidad.

(d) Derivadas parciales y direccionales. Análisis geométrico. La matriz jacobiana y el jacobiano. Diferenciabilidad. Resultados importantes.

VI. Bibliografía

Nunca he seguido un texto en particular en ninguno de los cursos que imparto. Más bien, voy elaborando notas desde el principio de cada curso conforme me voy haciendo una idea de qué es necesario en el contexto particular de nuestros estudiantes de carne y hueso cada semestre, y de cómo “me van llevando” en la discusión.

Hay varios libros clásicos, fáciles de conseguir por internet, que sirven muy bien para acompañar unas u otras partes del curso. Haré una lista de algunos de ellos, a reserva de que sobre la marcha les vaya sugiriendo otras lecturas en cada tema (las ediciones de los libros de la lista, son las de los ejemplares que yo tengo físicamente, pero por supuesto que cualquier otra edición funciona bien):

(a) Sagan, Hans: Advanced Calculus. Houghton Mifflin Company, 1974.

(b) Apostol, Tom M.: Calculus, vol. 2. Blaisdell Publishing Company, 1965. (Existe la traducción al español).

(c) Courant R, John F.: Introducción al cálculo y el análisis matemático, vol. 2 . Limusa, 1979.

(d) Williamson R, Crowell R, Trotter H: Calculus of Vector Functions. Prentice-Hall International, 1968.

(e) Edwards Ch: Advanced Calculus of Several Variables. Dover, 1994.

(f) Fulks, W.: Advanced Calculus. John Wiley & Sons, Inc., 1969.

(g) Haaser N, LaSalle J, Sullivan J: Intermediate Analysis. Blaisdell Publishing Company, 1965.

(h) Lang, S: Calculus of Several Variables. Addison-Wesley, 1974.

(i) Kline M: Mathematics and the Physical World. Dover, 1981.

(j) Protter M, Morrey Ch: Intermediate Calculus. Springer-Verlag, 1985.

(k) Hairer & Wanner: Analysis by its History. Springer-Verlag, 1996.

(l) Crowe, M: A History of Vector Analysis. Dover, 1994.

(m) Apostol, Tom M: Mathematical Analysis. Addison Wesley, 1965.

VII. ¿A quiénes podría recomendarles que llevaran el curso y a quiénes no se los recomendaría?

Empiezo por lo segundo:

(A) Si lo que ustedes buscan es aprender las herramientas básicas del cálculo sin profundizar básicamente en él. Si les fastidian las clases largas o muchas clases. Si piensan llevar muchas materias y entonces solo tienen posibilidades de dedicarle un tiempo más bien reducido al curso. Si conociéndose a sí mismos saben bien que aunque al principio del semestre tengan grandes propósitos, al cabo de varias semanas se empiezan a cansar y quieren acabar el semestre ya casi como sea. Si lo que en realidad quieren es pasar la materia (o más en general, obtener su título profesional) –si es con buena calificación qué mejor– sin preocuparles demasiado si aprenden mucho o poco en el camino.

Si les parece que es válido recurrir a bajar de internet las respuestas a los problemas que se les plantean para razonar y construir ustedes mismos las cosas. Si por ejemplo, en el tema de métodos de integración, piensan que es válido utilizar los programas que resuelven integrales para contestar la tarea o aún para resolver el examen. Si les parecen “moralinas” los exhortos a ser completamente honestos en la solución de sus tareas y sus exámenes, a no pasar ni pedir apoyo a sus amigos en la solución de los exámenes, a no hacer trampa conectando otro dispositivo para consultar posibles fuentes en donde pudieran venir las respuestas del examen.

Si ustedes están en alguno de los (distintos) casos anteriores (más aún si lo están en varios de ellos), les recomiendo sinceramente que no lleven este curso. Casi les puedo asegurar que si lo hacen, van a terminar quejándose, molestos, fastidiados, deseando todo el tiempo que ya se acabe todo, echando ajos y culebras contra el profesor y todo el equipo.

Pero por otro lado:

(B) Si lo que buscan es redescubrir ustedes la matemática, no solo recibir la información sobre ella. Si les interesa analizar geométricamente cada concepto, cada resultado –o por lo menos los más importantes–; discutir por qué las hipótesis son unas y no otras. Si les interesa aprender a formularlo, a demostrarlo y a aplicarlo ustedes mismos. Si les interesa trabajar en desarrollar su habilidad para intuir los resultados, para aprender a hacer tanto el análisis heurístico como el formal de las cosas.

Si ante las posibles lagunas en su formación previa están ustedes dispuestos a trabajar lo que sea necesario para emparejarse.

Si están de acuerdo en hacer lo que esté en sus manos por ayudar a que todos sus compañeros aprendan, aprender ustedes mismos de ellos, sean los más sobresalientes o sean a los que les cuesta más trabajo. Si tienen el ánimo de meterle todo su esfuerzo para dominar bien el cálculo.

Si están ustedes en esta situación, el curso puede ayudarles. Y no porque todo esto esté garantizado (no tenemos la arrogancia de afirmar eso), sino porque pueden estar seguros que de nuestra parte habrá el mayor esfuerzo por lograrlo, a pesar de nuestras propias limitaciones.

VIII. Y por último…

Esta experiencia, provocada por la pandemia, es nueva para todos nosotros. En general, planteo a mis alumnos que casi todo lo propuesto es modificable, que lo iremos moldeando conforme avancemos. Ahora lo hago con mayor razón… Siéntanse en confianza de plantear las cosas que quisieran fueran de otra forma, y entre todos vamos viendo. Por nuestra parte, muy probablemente haya cosas que cambiar, si al avanzar percibimos que no funcionan bien o podemos mejorarlas en general.