Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

1.- A continuación aparece la Presentación del curso de Cálculo II que impartiremos este semestre. A todos los compañeros interesados en participar en él –sean inscritos u oyentes–, les pido que llenen una encuesta inicial para hacernos una idea de la composición del grupo (y de las necesidades de equipo que pudieran tener para en su caso buscar una solución). Para ello, por favor ingresen al Classroom, con el siguiente enlace:

https://classroom.google.com/c/NDY2Mzc0MDMyOTI1?cjc=5omup4m

2.- Así que todo listo, nos vemos el lunes 14 de febrero a las 11:00 am en punto. Ahí aclararemos sus dudas, discutiremos las ideas que quieran proponer, e implementaremos las cuestiones organizativas del curso. Y al día siguiente comenzaremos las clases formalmente.

La dirección de zoom para acceder a las clases será:

https://cuaed-unam.zoom.us/j/97706481527

Presentación del curso de Cálculo II

Nota aclaratoria pertinente: Si solo te interesa ver cómo va a funcionar el curso, puedes perfectamente saltarte la Introducción y el capítulo IV e ir directamente a los demás capítulos.

Contenido:

I. Introducción.

II. El esquema general de funcionamiento del curso.

(a) Algunos cambios respecto a los semestres previos

(b) Entonces, ¿cómo quedan las cosas?

III. La evaluación.

IV.- Orientación del curso.

V.- Temario del curso.

VI.- Bibliografía.

VII. Y por último…

I. Introducción

1. Antes que nada, sean bienvenidos todos los interesados en llevar nuestro curso. Con pandemia y sin pandemia, he abierto las puertas a todos los estudiantes que desean inscribirse en él, sin más condición que su interés en estudiar el cálculo y su disposición a entrarle a todo el trabajo que implica aprenderlo a un buen nivel, según mi modesta opinión al respecto.

2. Hay cosas que podrán cambiar con la pandemia; pero hay otras que no, por lo menos en lo que a este curso se refiere. No comparto la idea de disminuir el número de horas de clases presenciales necesarias para aprender bien la materia (así sea por internet) ni “rebajar” las evaluaciones para “aliviar el estrés” del encierro en que quizás estemos todos.

Pienso que la universidad hace un daño mayor a sus estudiantes si abarata la educación que reciben (la cual está obligada a impartirles por lo demás). La educación pública en general, y la que imparte la UNAM en particular, además de ser absolutamente gratuita, creo que debe ser una educación que garantice una sólida formación de sus estudiantes; y que desarrolle en ellos una capacidad y un hábito de trabajo regular y sistemático.

3. No comparto las teorías que provienen de las experiencias de “educación a distancia” previas a la pandemia, y que se han expuesto en diferentes foros, según las cuales “un curso a distancia debe alejarse de la idea de un curso presencial impartido en línea”, “los profesores deben reducir al máximo el tiempo de clases sincrónicas, más bien deben grabar algunos videos breves y dejar trabajos para que los resuelvan los estudiantes”. Lamento mucho que en los semestres previos diversas instancias de gobierno de nuestra facultad se hayan adherido a estas teorías, particularmente pensando en los estudiantes de los primeros semestres.

4. La educación a distancia anterior a la pandemia era una opción pensada para estudiantes que no podían asistir regularmente a una clase, sino ir aprendiendo los contenidos conforme fueran pudiendo hacerlo. Existen distintos proyectos de universidad a distancia en el país. Conozco personalmente a varios profesores que trabajan o han trabajado como tutores en algunos de estos proyectos. Y hay un punto en el que todos coinciden: el nivel de preparación que adquieren los alumnos en dichos proyectos, por lo menos en el área de matemáticas, es incomparable en muchos aspectos –por decir lo menos de sus propias expresiones– al que reciben los estudiantes inscritos en el sistema tradicional. Varios de ellos han llegado a comentar que difícilmente un egresado de dichos cursos aprobaría las materias de los cursos presenciales –con excepciones, como siempre.

Loable el propósito de estos proyectos de buscar una alternativa para los muchachos que no pueden acudir a clases ni seguir el ritmo de una universidad “presencial”; pero cuestionable el resultado de lo que realmente se ofrece. Esto no tiene que ver con los propios profesores que allí laboran –mucho menos con sus estudiantes–, sino con el proyecto mismo, que desde hace varios años se ha estado reconsiderando a la luz de estos discutibles resultados.

5. La elaboración de videos previos a las clases condensando lo básico del material que los alumnos deben aprender, viene a ser como elaborar notas de clase con una cámara y un micrófono presentes. Eso está muy bien. Mejor aún si se escriben libros bien trabajados que expliquen con amplitud los temas correspondientes (mismos que pueden rehacerse con exposiciones con imagen y voz –lo que para algunos alumnos puede ser preferible, y para otros no–). Pero la universidad no puede reducir su proyecto educativo a entregar a sus alumnos los materiales que deben aprender, abrir algunas sesiones de aclaración de dudas, dejarles trabajos y proceder a evaluarlos (por lo demás, sin tener mayor cuidado en constatar responsablemente si quien elaboró los trabajos fue realmente quien recibe la calificación correspondiente). Eso es casi como plantear que la universidad es un proyecto educativo solo para los estudiantes autodidactas .

6. No está mal que los estudiantes autodidactas puedan recibir el reconocimiento correspondiente por la universidad (siempre y cuando, repito, sea muy estricta la institución en constatar con profesionalismo que en realidad adquirieron una formación comparable con la que exige a sus estudiantes en general). El detalle es que estamos hablando de menos del 1% de los estudiantes. Reducir (la UNAM) su responsabilidad docente a hacer eso –sin pandemia y con pandemia–, significa en los hechos desentenderse de la formación profesional en serio de prácticamente todos sus estudiantes; lo cual solo puede sostenerse si se flexibilizan las calificaciones sensiblemente –pues de otra forma, el número de reprobados sería enorme. Y ahí tenemos entonces la combinación perfecta del fraude educativo: yo me desentiendo de tu formación, tú puedes obtener mi reconocimiento sabiendo lo básico –o bien presentando los trabajos o exámenes que te pida, sin yo tener elementos acerca de si fuiste tú realmente quien los hizo o los respondió.

7. Al revés de lo que se plantea como recomendación, pienso que debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por lograr que los cursos en esta situación de aislamiento impuesto por la pandemia sean lo más parecido posible a los cursos presenciales. Nada sustituye el contacto humano, el ambiente de discusión y de compañerismo que puede crearse cuando todos compartimos un mismo espacio, el aprendizaje de los otros, la información que ofrece al profesor el observar las reacciones de sus alumnos a sus preguntas o sus explicaciones, el entusiasmo que puede transmitir en su materia teniéndolos delante a ellos y no a una pantalla de computadora. Pero por ahora eso no es posible, y debemos hacer nuestro mayor esfuerzo por rescatar hasta donde podamos todos esos rasgos de la educación presencial –incluyendo la interacción entre los propios estudiantes.

8. Me parece que nuestros cursos en esta situación deben ser más bien concebidos como “cursos presenciales en línea” dirigidos a estudiantes inscritos en la materia que acuden a clase en el horario respectivo, no como “educación a distancia” para estudiantes que no pueden llevar clases en horarios bien definidos, constantes y cotidianos (aunque a ellos mismos puede servirles lo que se propone). Esto presupone mucho más trabajo por parte del profesor para poder lograrlo –o acercarse un poco a ello–, pero esa es en mi opinión nuestra responsabilidad. Particularmente, de los profesores de tiempo completo.

9. Debo decir que ya a estas alturas, lo que estoy planteando no es lo que “me imagino” debería ser. Desde la semana misma en que se suspendieron las clases presenciales en la Facultad (tercera semana de marzo de 2020), empezamos a dar las clases en línea (entonces, Cálculo IV). Y los semestres siguientes dimos nuestros cursos apegándonos a esta idea. La clase se sostuvo todos los días de lunes a sábado, dos horas diarias (los sábados a veces más). Los videos completos y las notas que se iban escribiendo en clase se subieron diariamente también.

10. En términos generales, mi balance es que, salvo por un problema que mencionaremos más abajo, son preferibles las clases presenciales-en línea a los videos pre-grabados, ellas nos facilitan interactuar todos los días con los alumnos, discutir con ellos los contenidos, tratar de que sean parte del redescubrimiento y construcción de los conceptos, los resultados, los ejemplos y los contraejemplos, los argumentos y las pruebas; posibilitan, al menos en principio, la discusión, el debate de las ideas.

Debo decir sin embargo que considero que aún me falta experiencia para conseguir la misma participación de los alumnos en la discusión por estos medios, no lo logro como quisiera, esa es la verdad; pero creo que hay que trabajar en ello, pues si logramos irlo resolviendo, se podría abrir una alternativa más allá de la pandemia para decenas de miles de jóvenes que año con año son rechazados, pero que sí quieren y pueden asistir regularmente a sus clases, trabajar en sus materias, discutir con el profesor y sus compañeros, hacer todo igual que como si hubieran sido aceptados, recibiendo una educación de un nivel comparable (aunque perdiéndose, no hay duda, de muchos otros elementos esenciales en su formación como ser humano que aporta la convivencia cotidiana que se vive en las universidades).

Lo anterior, en el proceso mismo en que se lucha porque las universidades públicas amplíen sus matrículas, sus instalaciones y su planta docente para recibir a todos los jóvenes que tocan a sus puertas; el país genera recursos suficientes para eso y más, el detalle es que haya la disposición de tomar medidas para que se distribuyan atendiendo a estas y otras prioridades.

11. Desde luego todo esto presupone que los estudiantes tienen posibilidades de acceder a los cursos digitalmente (básicamente, requieren de preferencia una tableta –si es posible con lápiz electrónico– o una computadora o por lo menos un celular adecuado, y una red de internet conveniente en el domicilio en que toman la clase). Según las estadísticas que han presentado las autoridades de la facultad, este es el caso de la gran mayoría de nuestros alumnos. Y, según se ha informado oficialmente, se han tomado medidas para garantizar que quienes no tienen esos recursos básicos puedan contar con ellos. Lo primero que haremos en nuestro curso es un censo, para saber cuál es la situación de nuestros alumnos a este respecto. Y entre todos buscar soluciones para los que no cuenten con los recursos indispensables.

II. El esquema general de funcionamiento del curso

Lo planteado en la Introducción permite entender entonces la línea general con la que funcionaremos.

(a) Algunos cambios respecto a los semestres previos

Dos situaciones nos han hecho modificar el plan para los cursos que impartiremos en esta ocasión:

(i) La experiencia de los dos primeros semestres en línea nos mostró que el avance es sensiblemente más lento con las clases presenciales-en línea, que con las clases presenciales frente a grupo; y que los videos pre-grabados permiten abarcar en el mismo tiempo bastante más material que los videos de las discusiones en línea.

Y por otro lado, nos ha mostrado también que abrir el acceso a los videos grabados de cada clase, si bien tiene la ventaja de que los alumnos que no entraron a ella pueden verla en cualquier momento, tiene a la vez la desventaja de que propician con mucha facilidad la inasistencia a la clase y la acumulación de videos a revisar por los alumnos (2 horas diarias), lo que al paso de muy poco tiempo se convierte en algo imposible de cubrir, favoreciendo un notable relajamiento de la dinámica de trabajo del curso, un progresivo abandono del compromiso con la materia y con ello una deserción significativamente mayor que la usual.

(ii) El hecho de que en los dos últimos semestres me ha sido impuesta una condición que en concreto significa que debo dar dos cursos de cálculo en lugar de uno (como había sido durante los 47 años anteriores), lo cual repercute en que me resultará prácticamente imposible impartir yo personalmente todas las clases (teoría y ayudantía) de las dos materias todos los días, tal y como lo venía haciendo cuando solo debía impartir una, convencido de que eso fortalecía significativamente la formación de los estudiantes.

De manera que podrán combinarse algunos videos pregrabados con las clases presenciales en línea. E igual que el semestre pasado, las clases las repartiré con los ayudantes como es lo usual en todos los cursos, por supuesto cubriendo personalmente un mínimo de 6 horas a la semana en este curso. Me imagino que al final terminaré dando algunas más, pero mi compromiso a priori me veo obligado a establecerlo en estos términos, pues la carga de trabajo ha resultado mucho mayor.

(b) Entonces, ¿cómo quedan las cosas?

1. Las clases serán todos los días, de lunes a sábado, de 11:00 a 13:00 horas (el horario de los sábados se puede modificar de común acuerdo entre todos los participantes, dado que son pocos los cursos que realmente se imparten ese día –a pesar de aparecer en los horarios oficiales–). Tanto si es clase “presencial-en línea” como si es un video pre-grabado, la transmisión será en el horario de clase. Y una vez editado el video –hablando de la clase “presencial”– (a veces tarda solo unos minutos, otras toma un tiempo mayor), se subirá a YouTube y al Classroom del curso durante 24 horas, al término de las cuales se retirará nuevamente (se volverá a abrir el acceso unos días previos al examen parcial del tema). Es lo más parecido a las clases presenciales. Aunque las notas de la clase sí permanecerán todo el tiempo en el classroom. De modo que el curso se adapta principalmente para quienes puedan asistir regularmente a la clase en el horario correspondiente; o si acaso, que en el lapso de un día puedan ponerse al corriente.

Los sábados el grupo se partirá en subgrupos de entre 35 y 40 alumnos, cada uno de los cuales será atendido por uno de los ayudantes. El plan general de esas ayudantías es discutir con los equipos de trabajo que habrán de formarse al principio del semestre (4 a 7 integrantes cada uno), ejercicios generales que correspondan con lo avanzado durante la semana (al margen de que, naturalmente, en cada clase se irán haciendo ejercicios también). Los problemas a abordar en estas sesiones son discutidos previamente semana a semana por el profesor con los ayudantes.

2. Algunos compañeros que fueron asesores en Cálculo I, seguirán siéndolo en este curso. Aunque seguramente serán pocos, y deberemos entonces implementar una modalidad de asesoría distinta a la que tuvimos hace dos semestres. Esta deberemos definirla en función de cuántos alumnos se inscriban, y con cuántos asesores contemos.

3. Algunas de las iniciativas impulsadas en semestres anteriores, podrían retomarse en este, si así lo desearan:

(a) Un curso express en horas extra-clase las primeras semanas para nivelar a los alumnos que no llevaron con nosotros Cálculo 1, que cubra lo esencial de temas vistos que serán necesarios en nuestro curso de Cálculo 2.

(b) Formación de un grupo de trabajo especial con aquellos estudiantes a los que les cuesta más trabajo avanzar (o que se sienten con mayores huecos en su formación anterior). Este grupo puede mantenerse funcionando todo el semestre si fuese necesario.

(c) Una sesión extra-clase de discusión de los exámenes cáliz de cada tema, uno o dos días previos a cada examen parcial. Y si se quiere, otra sesión posterior a los exámenes parciales para resolverlos con los asistentes.

(d) Sesiones especiales dedicadas a la solución de problemas de cada tema.

Si hay más propuestas, bienvenidas.

4. Todos los equipos de trabajo deberán nombrar un representante. La idea es mantener al menos una reunión de trabajo después de cada examen parcial entre los representantes y nosotros, para recoger sus inquietudes, observaciones, sugerencias, etc. sobre el curso.

Aparte, sostendremos reuniones de trabajo semanales de todo nuestro grupo responsable del curso (profesor, ayudantes y asesores) y otra más del profesor con los ayudantes.

III. La evaluación

(a) La evaluación consta de tres partes: Una, el trabajo de las tareas, que se desarrollará en equipo (4 a 7 integrantes de preferencia). Otra, los exámenes parciales, que serán individuales. Y otra más, la evaluación del profesor, los ayudantes y los asesores en función de la participación de cada alumno en clase, en las ayudantías y en las reuniones de los equipos asistidas por los asesores.

(b) Por cada tema del curso habrá una tarea y un examen parcial. Las tareas –cada una de las cuales podrá dividirse en varias “entregas”, para no dejar que se acumule el trabajo– valdrán el 35% y los exámenes el 65%. Y para quienes quieran reponer algún examen parcial no aprobado –a lo más dos– o subir su calificación final, habrá un primer examen final escrito. Todos los exámenes se hacen a cámara abierta. Para exentar el examen final –promediando las tareas como se mencionó antes– no basta con tener promedio aprobatorio de los exámenes parciales, es requisito que en todos ellos –o en sus reposiciones– la calificación haya sido mayor o igual que 5.

(c) Si el día en que se realiza un examen (que por lo general serán los sábados) el alumno tiene algún otro compromiso y no lo presenta, puede utilizar una de sus dos reposiciones. Ningún examen se repite.

(d) Dadas las irregularidades que pudieran presentarse en condiciones en que los alumnos no elaboran sus exámenes estando presentes el profesor y/o los ayudantes –y dada la experiencia a este respecto, propia y de otros profesores y alumnos–, la calificación aprobatoria podrá ser necesario revalidarla en un examen oral en caso de no haber elementos suficientes o haber duda acerca de la fidelidad de la misma. Esto es particularmente aplicable en el caso de exámenes que “pasan” de un alumno a otro, o de soluciones esencialmente iguales a las típicamente bajadas de internet.

Aunque debo decir que por lo general no ha habido este problema en nuestros cursos: son realmente pocos los muchachos que por una razón o por otra no resisten la tentación de copiar o dejar copiar o bajar una solución de la red; en general, se logra establecer un ambiente de confianza entre todos, basado en la honestidad de cada uno y en nuestra relación fraterna y nuestro ambiente de trabajo y de respeto en el curso.

IV. Orientación del curso

Desde los primeros años que impartí la materia, me fui convenciendo de que las dificultades en la adaptación a los cursos de la facultad –en particular al cálculo, pero no solamente– comienzan con el lenguaje mismo que se utiliza en ellos, el uso sistemático de la lógica formal, el hábito de demostrar todo lo que se afirma –cuestión fundamental de toda actividad científica–. Esto toma tiempo, debemos entenderlo, partir de ello. Pero es tiempo bien invertido, es algo que allana el camino posterior en todas sus materias a los estudiantes, en todos los semestres –de hecho, en toda su vida profesional–.

Por otra parte, es esencial –esencialísimo, diría yo– la comprensión de dos temas en los que descansa el concepto que juega el papel de columna vertebral del cálculo (me refiero al concepto de límite, a la idea de convergencia): esos temas son el infinito y los números reales. A mi parecer, estos temas reciben una atención demasiado superficial en el programa oficial de la materia, y los estudiantes acaban “pagando aduana” después por no haberse detenido en ellos.

Y hay otro elemento a tomar en cuenta: el papel de los cursos de cálculo en la formación matemática de los estudiantes de física, matemáticas, actuaría y matemáticas aplicadas, es demasiado importante como para reducirlos a la enseñanza de ciertos procedimientos y técnicas de solución de determinados problemas (integración, diferenciación, series, límites). Debemos preocuparnos por desarrollar la capacidad de los alumnos para traducir geométricamente –o físicamente– resultados más o menos complicados; y de descubrir por ellos mismos nuevos resultados. Sacarle filo a su intuición, a la vez que entrenarlos en el encadenamiento de largas secuencias de razonamientos lógicos que les ayuden a demostrar lo que conjeturen que es verdadero. Está claro que esto es algo que no se logra en un par de semestres, que lo irán desarrollando a lo largo de toda su carrera. Pero indudablemente los cursos de cálculo juegan un papel fundamental en eso: no de balde deben cursarlos durante la mitad de duración de sus carreras y representan un número de créditos cada uno igual a casi el doble de cualquier otra materia.

Llegar a clase y escribir un teorema, hacer la prueba y dar algunos ejemplos de cómo se aplica, puede ser bastante rápido. Pero llegar, formular una idea general sobre la cual reflexionar posibles resultados, recoger las propuestas, plantear contraejemplos que muestren las debilidades de las mismas y orienten los siguientes pasos a dar en la formulación de las hipótesis necesarias del resultado buscado, reproduciendo el ciclo hasta llegar a un resultado final sólido, robusto, pulido; y entonces sí, enunciarlo con precisión y probarlo formalmente –lo cual ya está prácticamente resuelto en la discusión previa–, es algo que toma mucho más tiempo. Pero es algo que puede resultar muy valioso –por lo menos en un serie de resultados– si buscamos que los estudiantes no simplemente “se enteren” de la matemática, sino que la redescubran y que sean capaces de hacer matemática, de crear matemática.

Todo lo anterior nos plantea que el curso de cálculo I está principalmente orientado a construir bien los cimientos, las columnas y las trabes; no solo en términos de los conceptos básicos –que sí–, sino del desarrollo mismo del pensamiento matemático, avanzando simultáneamente en el manejo de las ideas geométricas, lógicas, algebraicas y físicas; intuitivas y formales. Y el de Cálculo II a construir ya todo el edificio –más bien habría que decir, el primer piso del mismo, el que se refiere a las funciones reales de variable real.

No pretendo decir que todo esto está garantizado, que todo sale maravillosamente, ni mucho menos; sino simplemente que me guío con esa idea. No son pocas las veces que termino una clase con el sinsabor de que no me salió como hubiera querido, que no me gustó, que pude haberla dado mucho mejor. Esa es la realidad.

Pero en fin: podríamos decir que el primer curso tiene entonces una orientación fundamentalmente “teórico-formativa”. Y en el segundo se abordan ya los conceptos y procedimientos clave del cálculo: la diferenciación y la integración (la diferenciación puede alcanzarse a ver a un nivel básico en el primer curso). En general, pienso que los cursos de Cálculo I y II deben verse como un todo.

Hechas todas estas aclaraciones, paso ahora a plantear a grandes rasgos los temas del curso:

V. Temario del curso

El semestre anterior, en el curso de Cálculo 1, discutimos ya la idea geométrica, física y heurística del concepto de derivada; su definición formal; su relación con la continuidad de una función; la diferencia entre hablar de la derivabilidad puntual y de la derivada como función; hicimos el análisis geométrico cualitativo de la derivada de una función con gráficas que combinan comportamientos muy diversos (brincos, picos, asintoticidades, oscilaciones infinitas, etc). Discutimos la relación entre la derivada de la inversa de una función y la derivada de la función misma; y dedujimos las fórmulas de la derivada de todas las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente, composición. Analizamos cómo se derivan los polinomios, las funciones racionales, las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas, finalizando con múltiples combinaciones entre ellas y algunas funciones especiales (oscilaciones infinitas, etc).

En este semestre, veremos una segunda parte del tema de derivada, que se refiere a los resultados teóricos más relevantes que involucran a la misma y sus aplicaciones. Para pasar después a discutir toda la teoría de la integral, sus aplicaciones, los teoremas fundamentales del cálculo, el teorema de cambio de variable, y la deducción formal de todas las propiedades del logaritmo y la exponencial a partir de ellos. En realidad es ahí donde formalmente entraría el tema de métodos de integración. Pero considerando que un buen número de estudiantes cursan la carrera de física, y en ella les requieren desde las primeras semanas el manejo relativamente ágil de los métodos de integración, hemos procurado ordenar los temas del programa de forma de satisfacer esta necesidad.

(1) Métodos de integración.

Aprender a integrar bien es el objetivo de esta parte, posponiendo para más adelante la discusión de toda la teoría de la integral. Cerraremos con algunos comentarios sobre las “integrales imposibles” de Liouville y las integrales de Fresnel. La primera tarea y el primer examen parcial consistirán simplemente en integrar funciones (muchas funciones, en el caso de la tarea).

(2) Continuamos con el tema de Teoría de la derivada, orientándonos a la discusión de los grandes teoremas que convierten a este concepto en una potente herramienta del cálculo: el Teorema de Fermat, el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio de Lagrange, y toda una serie de importantes corolarios que se desprenden de él; el Teorema del Valor Medio de Cauchy y el Teorema de Darboux.

Una vez hecho esto, procedemos a discutir el concepto de rapidez con la que una función se pega a otra –concepto fundamental para el manejo heurístico del cálculo–, todas las formas posibles de indeterminación de un límite (suma, producto, cociente, exponenciación) y los Teoremas de L’Hospital.

(3) El tercer tema se orienta a la discusión de algunas aplicaciones básicas de la derivada (derivadas de orden superior, máximos y mínimos, concavidad–convexidad de las funciones, la diferencial, el teorema de Taylor y una breve introducción a las ecuaciones diferenciales elementales que surgen en el estudio del crecimiento de poblaciones, la ley de enfriamiento de Newton, etc.).

(4) Teoría de la integral.

(A) Construcción de la integral, tres vías alternativas: Darboux, Riemann, du Bois Reymond. Prueba de su equivalencia. Propiedades básicas de la integral. Integrabilidad de operaciones entre funciones.

(B) La relación entre continuidad e integrabilidad: los esfuerzos en el siglo XIX (Dirichlet, Smith, Hankel, Harnack, Dini, Cantor, Stolz, Jordan, Borel, Lebesgue) por extender la integral más allá de las funciones continuas y por resolver el problema de garantizar la integrabilidad de una función. ¿Qué tan discontinua puede ser una función para seguir siendo integrable? En el caso de un número infinito de discontinuidades, ¿el problema depende de la cardinalidad? ¿O de la forma en que la infinidad de discontinuidades “se distribuyen” en el intervalo? ¿Cómo medir el espacio que ocupa un conjunto? Los conceptos de “contenido cero” de Jordan y “medida cero” de Lebesgue. La idea clave de un teorema de Riemann y otro posterior de Lebesgue, que culmina a principios del siglo XX toda esta discusión.

(5)

(a) El Teorema del Valor Medio y el Teorema del Valor Medio Generalizado para la Integral.

(b) La integral impropia (tres tipos).

(c) La integral como función (límite de integración variable). Análisis geométrico. Propiedades importantes (intuición geométrica y prueba formal).

(d) Los dos teoremas fundamentales del cálculo, corolarios trascendentes.

(e) El teorema de cambio de variable. ¿Por qué son válidos los “trucos con los símbolos” que involucran a la diferencial y la variable de integración?

(6)

(a) La vía más accesible para definir y probar las propiedades características del logaritmo. La definición y prueba de las propiedades características de la función exponencial a partir de ello.

(b) Aplicaciones de la integral: longitud de curva, volúmenes de sólidos y áreas de superficies de revolución, un teorema de Papus, métodos numéricos de integración.

(7) Series de números: criterios básicos de convergencia. (Este tema lo abordaremos si hemos concluido bien y a tiempo todos los anteriores antes de la finalización del semestre).

VI. Bibliografía

Nunca he seguido un texto en particular en ninguno de los cursos que imparto. Más bien, voy elaborando notas desde el principio de cada curso conforme me voy haciendo una idea de qué es necesario en el contexto particular de nuestros estudiantes de carne y hueso cada semestre, y de cómo “me van llevando” en la discusión.

Hay varios libros clásicos y otros de aparición más reciente que sirven muy bien para acompañar unas u otras partes del curso. Haré una lista de algunos de ellos, a reserva de que sobre la marcha les vaya sugiriendo otras lecturas en cada tema (las ediciones de los libros de la lista, son las de los ejemplares que yo tengo físicamente, pero por supuesto que cualquier otra edición funciona bien):

(a) Sagan, Hans: Advanced Calculus. Houghton Mifflin Company, 1974.

(b) Apostol, Tom M.: Calculus, vol. 1. Wiley International Edition, 1966. (Existe la traducción al español).

(c) Spivak, Michael: Cálculo. Editorial Reverté, 1981.

(d) Courant & John: Introducción al cálculo y el análisis matemático. Limusa, 1979.

(e) Hairer & Wanner: Analysis by its History. Springer-Verlag, 1996.

(f) Little, Charles; Teo, Kee; van Brunt, Bruce: Real Analysis via Sequences and Series. Springer, 2010.

(g) Menger, Karl: Calculus, A Modern Approach. Dover, 2007.

(h) Kline, Morris: El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial, 1992.

(i) Edwards, Charles Jr: The Historical Development of the Calculus. Springer-Verlag, 1979.

(j) Hawkins, Thomas: Lebesgue Theory of Integration, Its Origins and Development. AMS Chelsea Publishing, 1975.

(k) Boyer, Carl: The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover, 1959.

(l) Grabiner, Judith: The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Dover, 2005.

(m) Apostol, Tom M: Mathematical Analysis. Addison Wesley, 1965.

(n) Fulks, W.: Advanced Calculus. John Wiley & Sons, Inc., 1969.

VII. ¿A quiénes podría recomendarles que llevaran el curso y a quiénes no se los recomendaría?

Empiezo por lo segundo:

(A) Si lo que ustedes buscan es aprender las herramientas básicas del cálculo sin profundizar básicamente en él. Si les fastidian las clases largas o muchas clases. Si piensan llevar muchas materias y entonces solo tienen posibilidades de dedicarle un tiempo más bien reducido al curso. Si conociéndose a sí mismos saben bien que aunque al principio del semestre tengan grandes propósitos, al cabo de varias semanas se empiezan a cansar y quieren acabar el semestre ya casi como sea. Si lo que en realidad quieren es pasar la materia (o más en general, obtener su título profesional) –si es con buena calificación qué mejor– sin preocuparles demasiado si aprenden mucho o poco en el camino.

Si les parece que es válido recurrir a bajar de internet las respuestas a los problemas que se les plantean para razonar y construir ustedes mismos las cosas. Si por ejemplo, en el tema de métodos de integración, piensan que es válido utilizar los programas que resuelven integrales para contestar la tarea o aún para resolver el examen. Si les parecen “moralinas” los exhortos a ser completamente honestos en la solución de sus tareas y sus exámenes, a no pasar ni pedir apoyo a sus amigos en la solución de los exámenes, a no hacer trampa conectando otro dispositivo para consultar posibles fuentes en donde pudieran venir las respuestas del examen.

Si ustedes están en alguno de los (distintos) casos anteriores (más aún si lo están en varios de ellos), les recomiendo sinceramente que no lleven este curso. Casi les puedo asegurar que si lo hacen, van a terminar quejándose, molestos, fastidiados, deseando todo el tiempo que ya se acabe todo, echando ajos y culebras contra el profesor y todo el equipo.

Pero por otro lado:

(B) Si lo que buscan es redescubrir ustedes la matemática, no solo recibir la información sobre ella. Si les interesa analizar geométricamente cada concepto, cada resultado –o por lo menos los más importantes–; discutir por qué las hipótesis son unas y no otras. Si les interesa aprender a formularlo, a demostrarlo y a aplicarlo ustedes mismos. Si les interesa trabajar en desarrollar su habilidad para intuir los resultados, para aprender a hacer tanto el análisis heurístico como el formal de las cosas.

Si ante las posibles lagunas en su formación previa están ustedes dispuestos a trabajar lo que sea necesario para emparejarse.

Si están de acuerdo en hacer lo que esté en sus manos por ayudar a que todos sus compañeros aprendan, aprender ustedes mismos de ellos, sean los más sobresalientes o sean a los que les cuesta más trabajo. Si tienen el ánimo de meterle todo su esfuerzo para dominar bien el cálculo.

Si están ustedes en esta situación, el curso puede ayudarles. Y no porque todo esto esté garantizado (no tenemos la arrogancia de afirmar eso), sino porque pueden estar seguros que de nuestra parte habrá el mayor esfuerzo por lograrlo, a pesar de nuestras propias limitaciones.

VIII. Y por último…

Esta experiencia, provocada por la pandemia, es nueva para todos nosotros. En general, planteo a mis alumnos que casi todo lo propuesto es modificable, que lo iremos moldeando conforme avancemos. Ahora lo hago con mayor razón… Siéntanse en confianza de plantear las cosas que quisieran fueran de otra forma, y entre todos vamos viendo. Por nuestra parte, muy probablemente haya cosas que cambiar, si al avanzar percibimos que no funcionan bien o podemos mejorarlas en general.