Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Segundo Semestre, Álgebra Superior II

Introducción

Las estructuras algebraicas son ejemplo de uno de los recursos más poderosos de las matemáticas: la universalidad. Después de resolver problemas particulares y notar aspectos comunes a nuestras soluciones, se identifican propiedades de la estructura que les subyace. Esta identificación de conceptos universales, transversales a distintas situaciones, aplicables a variedad de objetos, lleva entonces a plantear definiciones de objetos matemáticos. Los problemas particulares se convierten ası́ en instancias de estos objetos, y son válidos en ellos todos los teoremas que podamos demostrar para el concepto que los engloba. En este curso presentaremos conceptos como el de grupo, que rescata propiedades comunes a distintos conjuntos en los que está definida una operación, y esto tiene como consecuencia que todo lo que se demuestre para un grupo vale entonces para cada una de sus instancias. A partir de la noción de grupo se definen otras (anillo, dominio entero, campo, etc) y mostraremos algunas de sus propiedades con ciertos resultados interesantes que corresponden a dichas estructuras.

Temario

1. Breve repaso de la axiomática de los números naturales, relaciones y clases de equivalencia. Particiones, conjunto cociente.
2. Construcción de los números enteros, inmersión de los naturales en los enteros. Propiedades y orden de los números enteros. Inducción y buen orden para el conjunto de los números enteros.
3. Divisibilidad. Algoritmos de la división y Euclides. Congruencias. Teorema fundamental de la aritmética.
4. Campos, conjunto de los números complejos y operaciones propias de éste: conjugación, módulo, raı́ces. Teorema de De Moivre.
5. Polinomios y ecuaciones polinomiales. Algoritmos de la división y de Euclides. Polinomios irreducibles.

Bibliografía

[1] Carmen Gómez Laveaga. Álgebra Superior: Curso completo. Universidad Nacional Autónoma de México, 2014.

[2] Clayde W. Dodge. Sets, Logic and Numbers. Prindle, Weber and Schmidt, Inc, 1969.

[3] Bravo Mojica, Alejandro, Rincón Mejía, Hugo y César Rincón Orta. Álgebra Superior. Las Prensas de Ciencias. Universidad Nacional Autónoma de México, 2011.

Modo de Clases y Forma de Evaluación.

Las clases se dividirán en dos partes:

• Al menos dos clases a la semana de manera ''presencial'' por medio de alguna de las plataformas: Google Meet o bien, Zoom.
• El resto de las clases constará de actividades asincrónicas que serán apoyadas por notas o bien por videos pregrabados. Aquí usaremos la plataforma Google Classroom para la entrega y calficación de sus actividades.

Estas clases serán grabadas y puestas a disposición del grupo a lo más dos días después de la clase en Classroom. No es necesario que el alumno esté conectado durante esas clases.

Hay cuatro evaluaciones parciales en el transcurso del semestre.

Cada evaluación parcial consta de una o dos tareas, cuyos porcentajes se acordarán el primer día de clases. Tentativamente las tareas aportarán el 50% de la calificación mientras que el examen completará el 50% restante. El último examen parcial se aplica en la fecha de la primer vuelta de exámenes.

Al final del curso podrán presentar la reposición de hasta dos evaluaciones parciales o examen final en la fecha de la segunda vuelta de exámenes.

El redondeo de calificaciones se aplica sólo a aquéllas aprobatorias (esto es, mayores o iguales a 6). Se redondean al entero superior valores como 7.55, 8.51 etc., pero no 7.49, 6.5 etc. Sólo quienes no presentaron ninguna evaluación (sea tarea o examen) tendrán NP.

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El codigo del grupo en Classroom es: urme7bp

Este lunes pondré en dicho grupo el enlace para la reunión del primer día. De cualquier modo, seguramente usaremos el siguiente grupo en Zoom