Matemáticas (plan 1983) 2022-2

Segundo Semestre, Álgebra Superior II

El objetivo central de este curso es iniciar el estudio de las estructuras algebraicas, es decir, conjuntos equipados con una o más operaciones. Para este fin se introducen las estructuras numéricas clásicas: naturales, enteros, racionales, reales y complejos. En primer lugar es necesario construir los enteros, racionales y reales (conjuntos con sus operaciones) a partir de los números naturales, para este fin utilizaremos relaciones de equivalencia y particiones. Una vez construidas estas estructuras, se explorarán las propiedades de anillo y de dominio entero de los enteros.

La segunda parte del temario se centra en la relación de divisibilidad de los enteros, teniendo como objetivos principales el Teorema Fundamental de la Aritmética y el Teorema Chino del Residuo. Además, resulta de gran importancia el estudio de los algoritmos de la división y de Euclides, ya que son fácilmente adaptables para trabajar sobre polinomios.

A continuación se estudiarán los números complejos, sus propiedades algebraicas y geométricas básicas. Será de particular importancia la existencia de raíces, ya que esto sentará las bases para el estudio de las raíces de polinomios.

El curso cierra con el estudio de polinomios con coeficientes sobre un campo, mismos que resultan ser dominios enteros. Por este motivo, hay un gran paralelismo entre el material estudiado para los enteros y los polinomios. En particular, tenemos divisibilidad y factorización única para los polinomios. Finalizamos con el estudio de raíces: criterios de existencia, multiplicidad, y el Teorema Fundamental del Álgebra.

La evaluación será únicamente a través de tareas (aproximadamente 4, una por tema) que se entregarán de forma individual o en equipo. Además, se dejarán varias participaciones para subir puntos en las tareas. Se promediará la calificación obtenida en las tareas sumando las participaciones, incluso si alguna calificación es mayor a 10. Para aprobar el curso basta tener promedio aprobatorio. En caso de necesitarlo, duante las semanas de finales se dejarán algunos ejercicios extra para subir calificación, a modo de reposición. Las calificaciones aprobatorias se redondearán hacia arriba a partir del .5. Será posible entregar las tareas a mano (escaneadas o con fotos de buena calidad), pero los ayudantes se reservan el derecho de no calificar una tarea si no entienden la letra. Se podrá otorgar hasta un punto extra por presentación a quienes entreguen su tarea en LaTeX.

Toda la comunicación relativa al curso, incluyendo la entrega de tareas, se realizará a través del Google Classroom del curso. Las clases serán síncronas utilizando pizarrón, a través de Zoom, y todas se grabarán en 1080p. Las clases grabadas se subirán al Classoom el mismo día o a más tardar al día siguiente de la clase. En el Classroom también se encontrará información adicional, como la biliografía del curso o el enlace de Zoom.

Para ser incluidos en el Classroom por favor envíen un correo a japo@ciencias.unam.mx desde su cuenta @ciencias para ser admitidos.