Matemáticas (plan 1983) 2022-1

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Enseguida se presenta el apartado "Contenido del curso y bibliografía" donde se hace una breve descripción del curso y se señala el material bibliográfico para consulta. Posteriormente se encuentra el apartado "Dinámica del curso", donde se describe cómo se organizará la clase, el modo de evaluación y las plataformas que se utilizarán. Finalmente, se coloca la información para la primera sesión.

Contenido del curso y bibliografía

Introducción.

En esta parte se abordan campos vectoriales en la recta, en el plano y en el espacio tridimensional. Se asocia una ecuación diferencial a un campo vectorial y se plantea el problema de encontrar soluciones a una ecuación diferencial. Se introduce la noción del espacio de las fases y del espacio de las fases extendido. Se plantean ejemplos para generar representaciones visuales y se muestra como definir campos vectoriales que cumplen ciertas propiedades dadas.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes (en una y varias variables)

En esta parte se trata tanto el caso homogéneo como el no homogéneo. En el caso homogéneo se resuelve primero el caso de dimensión uno, para pasar posteriormente a varias variables. Se introducen los conceptos de valores y vectores propios de una matriz con coeficientes constantes, así como los procesos de diagonalización y normalización de matrices. En los casos de dimensiones pequeñas se producen representaciones visuales para analizar los diversos comportamientos de los campos vectoriales lineales. En esta parte se demuestra que las soluciones de una ecuación lineal homogénea forman un espacio vectorial de dimensión finita, con lo que se introduce el concepto de matriz fundamental de soluciones así como de Wronskiano. Se aborda el teorema de Liouville y su significado geométrico para ecuaciones diferenciales definidas por matrices con coeficientes constantes. Para abordar el caso no homogéneo se emplea el método de variación de parámetros (en una y varias variables) que, aunado a lo desarrollado en el caso homogéneo, permite concluir que las soluciones forman un espacio afín. Se hace notar que si el término no homogéneo es continuo entonces la ecuación tiene solución explícita.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes

Esta parte se comienza con la reducción de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes a una ecuación de primer orden en R^2 definida por una matriz con coeficientes constantes. Lo anterior permite llevar el estudio de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes (en los casos homogéneo y no homogéneo) a los resultados abordados en la parte 2. Se procede de manera análoga en el estudio de ecuaciones diferenciales de orden n arbitrario con coeficientes constantes, reduciendo estas ecuaciones a ecuaciones de primer orden en R^n definidas por matrices con coeficientes constantes. Se abordan ejemplos de vibraciones mecánicas: movimientos con y sin amortiguamiento, y con fuerza externa (ejemplo de resonancia). Esos ejemplos se resuelven tanto con lo visto previamente en el curso como con los métodos usuales.

Ecuaciones diferenciales exactas

Se establece la equivalencia entre ecuaciones hamiltonianas y ecuaciones diferenciales exactas. Con esta perspectiva, se aborda la noción de factor integrante en un sentido geométrico. Esta perspectiva también permite dar ejemplos usando las nociones geométricas aprendidas en los cursos de Cálculo Diferencial.

Teorema de existencia y unicidad

En esta parte se demuestra el teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias. Este tema incluye las iteradas de Picard y su convergencia, así como el dominio de definición de las soluciones obtenidas. De manera posterior, se abordan ejemplos de ecuaciones que se usan en mezclas, sistemas de poblaciones y otros.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables

En esta parte se estudian ecuaciones que nuevamente están en términos de una matriz, pero ahora con coeficientes variables. Ya que se pierde la continuidad del campo vectorial que define la ecuación diferencial, se resuelven casos cuyas soluciones se expresan en series de potencias convergentes, o bien, que se logran abordar usando el método de Frobenius. En esta parte se ven las ecuaciones clásicas: Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff y ecuación hipergeométrica. Este tema se abordará en función del tiempo que se tenga antes de acabar el semestre.

Material bibliográfico

En el curso se darán notas que estarán basadas principalmente en el libro “Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales”, que está en construcción y que se escribe en colaboración con Laura Ortiz Bobadilla, Jesús A. Palma Márquez y Ernesto Rosales González.

Otros libros que pueden servir de apoyo son:

V.I. Arnold, “ Ordinary Differential Equations”, Springer-Verlag.

P. Blanchard, R. Devaney, G. Hall, “Ordinary Differential equations”, Thomson Brooks/Cole.

P. Hartman, "Ordinary Differential Equations", Society for Industrial and Applied Mathematics.

Dinámica del curso

El contenido y los ejercicios del curso se encontrarán en su totalidad en las "Notas del curso". De forma adicional, se realizarán "Actividades y material de apoyo" con el fin de abonar el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

La evaluación se hará por medio de tareas (50%) y exámenes (50%). Se permitirá reponer hasta tres exámenes o bien hacer un examen final, siempre y cuando se hayan enviado al menos la mitad de las tareas que se dejen a lo largo del semestre.

Como apoyo técnico se usarán las plataformas Google Meet y Classroom.

Cabe mencionar que a los estudiantes inscritos se les pedirá que envíen escaneada su identificación de la UNAM, y que usen su correo de ciencias para su interacción dentro del grupo.

Enseguida se dan consideraciones puntuales sobre “Notas del curso”, “Actividades y material de apoyo”, “Tareas y exámenes” y “Consideraciones adicionales”.

Notas del curso

Además del contenido teórico, las notas del curso tendrán ejemplos y ejercicios. Los ejemplos estarán pensados para apoyar al estudiante en la resolución de los ejercicios, los cuales deberán ser resueltos conforme se avance en la lectura de las notas.

Las notas se enviarán los días lunes, miércoles y viernes en el horario de la clase.

Actividades y material de apoyo

Los días martes y jueves en el horario de clase, la profesora se conectará por Google Meet para resolver dudas sobre las notas. Cabe mencionar que el principal propósito de estas sesiones será resolver las dudas que los alumnos tengan después de haber estudiado las notas de clase. De ser necesario, también se podrán resolver dudas específicas sobre los ejercicios de la tarea, una vez que el estudiante ya los haya intentado por su cuenta y tenga propuestas de resolución.

En caso de tener el consentimiento de todos los presentes, se grabarán las sesiones por Google Meet y se subirán al grupo en Classroom. Cabe mencionar que a los estudiantes inscritos se les pedirá que, en caso de estar de acuerdo, den su consentimiento por escrito para poder realizar las grabaciones.

Las dudas o comentarios sobre las notas o sobre las sesiones de videoconferencia podrán ser enviados al correo electrónico del ayudante, con copia a la profesora.

Adicionalmente, se subirán videos y más ejercicios resueltos cuando se considere que el tema lo amerite.

Tareas y exámenes

Las tareas consistirán en una selección de ejercicios de las Notas de clase. El envío, la recepción y la evaluación de las tareas se harán por medio de Classroom.

Reiteramos que es importante que los estudiantes resuelvan los ejercicios de las notas conforme vayan apareciendo, de tal manera que sus dudas sean resueltas en las sesiones inmediatas por videoconferencia, o bien, por correo electrónico.

Respecto a los exámenes, estos serán breves con la finalidad de que puedan ser resueltos durante la hora de la clase. Las fechas en que se presentarán los exámenes serán notificadas con anticipación. El envío, la recepción y la evaluación de los exámenes se harán por medio de Classroom.

Se pedirá que los escritos que serán evaluados tengan una redacción clara (en especial las tareas, ya que contarán con más tiempo para escribirlas). También se requerirá que todos vayan escritos a mano, con letra grande y legible, que sean escaneados y enviados en archivos .pdf legibles (no en foto). Cabe mencionar que es responsabilidad de cada estudiante verificar que los escritos que serán evaluados estén ordenados y que se suban correctamente a la plataforma Classroom.

Consideraciones adicionales

Es importante mencionar que si en alguna tarea o examen se llegaran a encontrar trabajos idénticos, o indicios de que han sido copiados, éstos se anularán, o bien, se optará por hacer exámenes orales a las personas que hayan presentado dichos trabajos.

Primera sesión

La presentación del curso será el lunes 30 de agosto del 2021 en el horario de la clase. Se recomienda que los alumnos interesados asistan a la reunión, pues ésta no se grabará debido a que, entre otras cosas, abordaremos el tema del consentimiento para grabar las sesiones en general.

Código de la clase en Classroom: 4qajitu